DISCOURS

L'OBJET DE L V THEORIE DES FONCTIONS ANALYTiaiES.

(Journal de l'École Polytechnique, W Cahier, t. II, thermidor an MI.,

La théorie des fonctions que je me propose d'exposer celte année, avec plus de détail que je ne l'ai t'ait dans l'Ouvrage imprimé, a pour objet de faire disparaître les ditricultés qui se rencontrent dans les principes du Calcul différentiel et qui arrêtent la plupart de ceux qui entreprennent de l'étudier, en liant immédiatement ce Calcul h l'Algèbre, dont il a fait jusqu'ici une science séparée.

On connaît les difficultés qu'olTre la supposition des infiniment petits; pour les éviter, Euler regarde les différentielles comme nulles, ce qui réduit leur rapport à l'expression vague et inintelligible de zéro divisé par zéro. Maclaurin et d'Alembert emploient la considération des limites; mais on peut observer que la sous-tangente n'est pas à la rigueur la limite des sous-sécantes, parce que rien n'empêche la soussécante de croître encore lorsqu'elle est devenue sous-tangente.

Les véritables limites, suivant les notions des anciens, sont des quantités qu'on ne peut passer, quoiqu'on puisse en approcher aussi près que l'on veut; telle est, par exemple, la circonférence du cercle à l'égard des polygones inscrits et circonscrits, parce que, quel(|ue grand que devienne le nombre des cotés, jamais le polygone intérieur ue sor-

:î2() discours sur L'OBJET DE LA THÉORIE

tira du cercle, ni l'extérieur u'y entrera. Ainsi les asymptotes sont de véritables limites des courbes auxquelles elles appartiennent, etc.

Au reste, je no disconviens pas qu'on ne puisse, par la considération des limites envisagées d'une manière particulière, démontrer rigoureusement les principes du Calcul différentiel, comme Maclaurin, d'Alembcrt et plusieurs autres Auteurs après eux l'ont fait. Mais l'espèce de métaphysique qu'on est obligé d'y employer est, sinon contraire, du moins étrangère à l'esprit de l'Analyse, qui ne doit avoir d'autre métaphysique (|ue celle qui consiste dans les premiers principes et dans les opérations fondamentales du Calcul.

A l'égard de la méthode des fluxions, il est vrai qu'on peut ne considérer les fluxions que comme les vitesses avec lesquelles les grandeurs varient, ot y faire abstraction de toute idée mécanique; mais la détermination analytique de ces vitesses dépend aussi, dans cette méthode, <le la considération des quantités infiniment petites ou évanouissantes, et est par conséquent sujette aux mêmes diUicultés que le Calcul différentiel.

A considérer ces difl'érentes méthodes, ou plutôt ces différentes manii-res d'envisager la même méthode, il n'est |)iis difticile de s'apercevoir qu'elles n'ont d'autre but que de donner le moyen d'obtenir séparément les premiers termes du développement d'une fonction, en les détachant et les isolant, pour ainsi dire, du reste de la série, parce que tous les problèmes dont la solution exige le Calcul difféientiel dépendent uniquement de ces premiers ternies; et l'on peut dire qu'on remplissait cet objet sans presque se douter que ce fût l;i le seul but des opérations du calcul qu'on employait.

La considération des courbes avait fait naître la mélliod<' des infiniment |)etits, qu'on a ensuite transformée en méthode des évanouissants ou des limites, et la considération du mouvement avait fait naître celle ries fluxions. On a transporté dans l'Analyse les principes (|ui résultaient de ces considérations, et l'on n'a pas vu d'abord, ou du moins il ne parait pas qu'on ait vu que les problèmes qui dépendent de ces méthodes, envisagés analytiquement , se réduisent simplement à la re-