DES FONCTIONS ANALYTIQUES

cherche des fonctions (lcriv('M's qui forment hîs premiers termes du développement des fonctions données, ou à la recherclic! inverse des fonctions primitives par les fonctions dérivées.

Newton avait bien remarcjné, dans sa première solution du Problème sur la courbe décrite par un corps grave dans un milieu résistant, que ce Problème devait se résoudre par les premiers termes de la série de l'ordonnée; mais il se trompa dans l'application de ce principe, et dans la seconde solution il employa purement la méthode ditTérentielle, en considérant les différences de quatre ordonnées successives; et, quoiqu'il ait laissé subsister le passage où il dit que le Problème se résoudra par les premiers termes de la série, on voit que ce passage n'a plus de rapport immédiat à ce qui précède ni à ce qui suit.

Il est donc plus naturel et plus simple de considérer imniédialcmcnt la formation des premiers ternies du développement des fonctions, sans employer le circuit métaphysique des infiniment petits ou des limites; et c'est ramener le Calcul différentiel à une origine purement algébrique, que de le faire dépendre uniquement de ce développement.

Le développement des fonctions, envisagé d'une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de difTérents ordres; et, l'algorithme de ces fonctions une fois trouvé, on peut les considérer en ellesmêmes et indépendamment des séries d'où elles résultent. Ainsi, nne fonction donnée étant regardée comme primitive, on en peut déduire, par des règles simples et uniformes, d'autres fonctions (|ue j'appelle dérivées; et, ayant une é(juation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives. Ces transformations répondent aux ditl'érentiations et aux intégrations; mais, dans la théorie des fonctions, elles ne dépendent que d'opérations purement algébriques, fondées sur les simples principes du calcul.

A proprement parler, l'Algèbre n'est en général que la théorie des fonctions. Dans l'Arithméticiue, on cherche des nombivs par des conditions données entre ces nombres et d'autres nombres; et les nombres qu'on trouve satisfont à ces conditions sans conserver aucune trace des

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opérations qui ont servi à les former. Dans l'Algèbre, au contraire, les quantités qu'on cherche doivent être des fonctions des quantités données, c'est-à-dire, des expressions qui représentent les dillerentes opérations qu'il faut faire sur ces quantités pour ohtcnir les valeurs des quantités cherchées.

Dans l'Algèbre proprement dite, on ne considi-re (|ue les fondions primitives qui résultent des opérations algébriques ordinaires; c'est la première branche de la théorie des fonctions. Dans la seconde branche on considère les fonctions dérivées, et c'est cette branche que nous désignons simplement par le nom de Théorie des fonctions analytiques, et (|ui comprend tout ce qui a rapport aux nouveaux calculs.

Les fonctions dérivées se présentent naturellement dans la Géométrie, lorsqu'on considère les aires, les tangentes, les rayons osculateurs, etc., et dans la Mécanique, lorsqu'on considère les vitesses et les forces. Si l'on regarde, par exemple, l'aire d'une courbe comme fonction de l'abscisse, l'ordonnée en est la première fonction dérivée, ou fonction prime; l'angle que la tangente de la courbe fait avec l'axe a pour tangente la fonction prime de l'ordonnée, et par conséquent la seconde fonction dérivée, ou fonction seconde de l'aire; le rayon osculateur dépend des deux premières fonctions dérivées de l'ordonnée, et ainsi de suite.

De même, en regardant l'espace parcouru comme fonction du temps, la vitesse en est la fonction prime, et la force accélératrice en est la fonction seconde. Ce n'est pas un des moindres avantages de la théorie des fondions de fournir, pour ces éléments de la Géométrie des courbes, et de la Mécanique, des expressions aussi simples cl aussi intelligibles que le sont les expressions algébricjucs des puissances cl des racines.

SOLIIIO.XS DE ttlELftlES PROBLÈMES

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