oc
et de là .
smA = - — -, î
■}.bc
Donc, si l'on fait, pour abréger,
. . d , a labc
siiiA = — ^: donc —. — r = — r-^ 26c' sinA a
c'esl le rapport cherché.
Si l'on nomme r le rayon du cercle circonscrit au triangle, et s la surface ou l'aire tlu même triangle, on aura
donc
n a abc __ abc
si 11 A (l 2i '
abc abc ' d
2. En développant le carré de l>'- ■+- c- — a-, el réduisant, on a
d = ^/3.a-6''M- 2rt'f' -f- ?. b-c- — a* — h' — c' ,
formule où l'on voit que les trois côtés a, b, c enti'cnt également, comme cela doit être.
Mais on peut mettre cette formule sous une l'orme plus simple, et plus commode |)our le calcul logarillimi(iue, en la décomposant en facteurs. En effet, on a
^b-c''— [b^-¥- c' — a-]'= {o.bc-h b- + c' — a'] [-ybc — b' — c' ■+- a') = ['b-hcy — a'][a'— [b — c'r];
et, décomposant encore chacun de ces facteurs en deux, on aura
Ces formules sont connues, et je ne les rapporte ici que pour servir comme d'introduction aux recherches suivantes.
3. Puisque dans les triangles sphéri(}ues les sinus des côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés à ces côtés, on peut être
AUX TRIANGLES SPHÉRIQUES. 33:î
curieux de connaitrc ce rapport constant et ilc voir s'il dépend aussi, comme dans les triangles rectilignes, du rayon du cercle circonscrit ou de l'aire du triangle.
Désignons de même par a, h, c les trois côtés d'un liianglc splirrique, et par A, B, C les trois angles opposés à ces côtés; on auia, par le théorème connu,
dont
et de Ik"^
ces a = ces/» cosf h- sin/> sinccosA;
COS« — C0S6 COSfi
cosA
sin6 sine
v'sin'6 sin'c — (cosa — cos<» cost-)'
sin A = 7—, — -.
sinosinc
Faisons, pour abréger,
on aura
don(
f= ysin'6sin-c — (cosa — ces 6 cosc/';
sinA — —
expression du rapport cherché, analogue à celle qu'on a trouvée [tour les triangles rectilignes (1).
Comme la quantité /est exprimée par un radical carré et peut, par conséquent, avoir le signe yoAw et moins, nous remarquerons que, relativement aux triangles sphériques, elle doit toujours être prise positivement, parce que, les côtés et les angles de tout triangle étant toujours moindres que deux droits, leurs sinus sont nécessairement toujours positil's.
4. La quantité radicale / est aussi susceptible de réductions analogues à celles du n° 2.
;m PROBLEMES RELATIFS
Car en suhstiliiaiU pour sin'-^ et siirc leurs valeurs eu cosinus I — eos'/j. 1 — cos-c, el réduisant, on aura
y^-r ^ I — cos-« — cos'/> — cosH- -I- 2Cosa ces 6 cost-,
où l'on voit (|ue les trois côtés a, b, c entrent également.
On peut (le même résoudre la quantité sous le signe en facteurs, lîn eiïet, on aura d'abord
sin'6 sin'r; — (cos« — cos6 cosc)'
- I sinftsinc -f- cosrt — ces A ces c) [siii/» sine — cos» -h ces/» cosc) = [cosrt — cos(6 -I- 6- 1] [cos(6 — c) — cosa].
Ur on a en oeneral
, . <i -\- Il . It — cos« — CCS Al = 2SU1 sin
donc, décomposant ainsi les deux facteurs, on aur;
-4-6 + 6' . ft — b -\- C . Il -T- b — c . sm sm sm
expression Irès-commode pour le calcul logarillnni(|ue.
5. Cherchons maintenant le rayon du cercle circonscrit au triangle sphérique. Il est évident que ce cercle ne peut être qu'un petit cercle de la sphère, et qu'il sera aussi circonscrit au triangle recliligne formé par les trois cordes des arcs a, b, c. Or, ces cordes étant exprimées pai'
•-!sin-5 isin-i 2sin-) il n'y aura qu'à les substituer au lieu de a, b, c dans l'expression du rayon r (2), c'est-à-dire, dans ——■
Nommons R le rayon de ce cercle circonscrit, et h ce que devient la ijuantité f/ par les substitutions dont il s'agit; on aura
osin - sm - sm-
MX TRIANGLES SPHÉIUQUES.
Or on a
/j-=3?/sin^sin-| M- S-ifsin ^ sin M -+" 32(sin ;^- siii - | — i6(sin-\ — i6(sin-J — i6(sin-j ;
vl, subsliluanl pour -ilsin-) , 2(sin-j > a(sin-) leurs valeurs I — cosrt, I — cos^, I — cosp, on aura, après les réiluctions,
h-— la — Scosrt — 8cos6 — Scosc + 8 cosi^ oos6 -!- Scosrt cose -t- Hcosb cosc
— 4C0S=« — 4cOS-Z» — 4C0SV;,
expression qu'on peut réduire à celle-ci
4/'-(-8 I — cosrt I — C0S& I — cosc ,
c'esl-ii-.ilire a
4/- -h 64 (sin~ sin- sin- J r
en subslituanl la valeur de/du n" 4. Ainsi l'on aura
, . (i . I' . (-■ 4sin - siii - sni -
/-'+ iGisin- sin- sin-
6. .Maintenant, si l'on considère le rayon de la splièie (jui passe par le centre du petit cercle circonscrit, il est visible que ce rayon sera perpendiculaire au plan de ce cercle, et qu'il aboutira au point de la surface ([ui sera le pôle du même cercle. Donc, en nommant -.- Tare qui mesure la distance du pôle à la circonférence du même cercle, on aura évidemment R = sinc; donc
sm9 =;
^ sui - siiî - siii ■
\//'+(4sm-sm-sm-j
d'dii l'un lire
COSip
