sin- sin- sin

cl de li(

, . fi . l> . t 4sin- sni - sm-

Vang9 =

Donc, puiscitic sino = asin - cos -? et ainsi des autres sinus, on aura f3)

SHirt a b o

—. — - =^ atango cos- cos- cos-sui A °^ ■î 1 1

7. Si l'on voulait avoir l'aire du triangle rectiligne inscrit dans le petit cercle dont il s'agit, et formé par les cordes des arcs a, b, c, en noMiinant S cette surface, il n'y aurait (|u'à changer dans la formule

T~ (lu n 1, s en S, ren K et «, w, c en 2sin -, 2Sin -•, 2sm -■, ce r 2 ■} 2

— ^ qui doiuierail sur-le-clianip

. a . b . V, 2 sin- sin - sin-

(I bien, à cause de R = sin'^ (6),

2Sin- sin- sin-

sin 9

Si maintenant on considère la j)yranii(le triangulaire qui a ce triangle pour base, et dont le sommet est au centre de la sphère, il est visible (juc la hauteur de celte pyramide sera cos'i^; donc sa soliilité sera

„ ^; ou bien, niellant pour S la valeur qu'on vient de trouver,

. a . b . c 2sni- sin- sin -

3lang(p

AUX TRIANGLES SPHERIQUES. 337

et, substituant de plus la valeur de tang'^ trouvée plus haut (6), on

f aura ^ pour la valeur de la solidité de la pyramide.

8. Il nous reste à considérer l'aire même du triangle sphérique formé par les arcs a, b, c.

On connaît le beau théorème suivant lequel l'aire d'un triangle sphérique est à la surface entière de la sphère, comme l'excès des trois angles du triangle sur deux droits à huit angles droits. On l'attribue communément à Albert Girard, qui l'énonce en effet dans l'Ouvrage intitulé Invention nouvelle en Algèbre, et imprimé à Amsterdam en 1629; mais, comme la preuve qu'il en donne n'est point rigoureuse et qu'elle ne peut pas même être regardée comme une induction, on devrait plutôt attribuer ce théorème à Cavalieri, qui l'a donné dans le Directorium générale uranometricum, imprimé à Bologne en iGSa, avec la belle démonstration rapportée par Wallis, et insérée depuis dans la plupart des Trigonométries.

Nommons 1 l'excès des trois angles du triangle sur deux droits; on

aura, en retenant les dénominations employées jusqu'ici, et nommant D

l'angle droit,

2 = Ah-B + C-2D.

Ainsi l'aire du triangle, dont les côtés sont a, b, c et les angles opposés

A, B, C, sera la partie 7^ de la surface entière de la sphère; et, si l'on

regarde cette surface comme égale à 8D, on pourra alors prendre 2 pour la valeur de l'aire même du triangle.

9. Si l'on imagine que les côtés è et c qui comprennent l'angle A soient prolongés jusqu'au quart du cercle, les angles B et C deviendront droits, et le côté a deviendra égal à l'angle opposé A; alors l'aire de triangle rectangle isoscèle deviendra A ; donc, si l'on en retranche le premier triangle dont les côtés autour de l'angle A sont b et c, on aura le quadrilatère sphérique dont la base sera A, et dont les côtés perpcndi-