AUX TRIANGLES SPHÉRIQUES

plusieurs points placés à hi circonférence; car, en lianl ces puinls |):u' (les arcs de grands cercles, on aura un polygone sphérique, dont on trouvera facilement l'aire en le décomposant en quadrilatères formés par les cercles de latitude et par les arcs de l'équateur interceptés entre ces cercles.

10. Mais, si Ton voulait avoir la valeur de l'aire i par les trois côtés a, b, c du triangle sphérique, il n'y aurait qu'à considérer que, puisque 2 = A -î- B -f- C — aD, on aura

1 A^B-C tang^-iang^-

col - = — laiig =

A Bh-C

I — tang — lang

Si l'on substitue, au lieu de tanç ■> sa valeur trouvée ci-dessus

Cnuméro précédent;, on aura

col - =: -

A b-hc A b-c tang — cos h col — cos

COS cos

formule qui se transforme facilement en celle-ci

b c . b . c „ COS -ces — h sin- sm- cosA

col - = 1

sin - sin- sm A

Si maintenant on substitue dans cette formule les valeurs des sin A et cosA du n" 3, on aura, en divisant le haut et le bas par sin - sin--

y H, COS -cos-) H- cosfl — cosicosc col— =

-1 — I H- cosc», el 2lcos-| — i-f-cosr;

donc, faisant ces substitutions et renversant la fraction, on aura

°2 I-»- cosa + cos6 -+- cosc

formule la plus simple pour déterminer l'aire i d'un triangle spliérique par le moyen de ses trois côtés a, b, c.

11. Nous avons vu (7j que ^ est la solidité de la pyramide triangulaire formée par les trois rayons de la sphère qui répondent aux trois angles du triangle sphérifiue.

Considérons maintenant une pyramide triangulaire formée par ces mêmes rayons prolongés autant (ju'on voudra, de manière qu'ils deviennent/), q, r, et que a, b, c soient les arcs ou angles compris entre ces droites. Pour avoir la solidité de cette pyramide, il n'y aura qu'à la considérer co'mme couchée sur une de ses faces, par exemple celle qui a pour côtés les lignes/) et^, et abaisser de l'extrémité de la troisième droite r une perpendiculaire P sur le plan de la même face. Il est d'abord facile de voir que, si a est l'angle compris entre p et q, l'aire de la face

que nous regardons comme la base de la pyramide sera Lî • donc

la solidité de la pvramide sera — i-— — -• ' ' b

Or, si l'on nomme 0 l'angle que la droite r fait avec le plan passant

par les droites/) et q, il est clair que l'on aura P = rs\nO; donc la soli-

,. , , , , porsinrt sin (/

dite cherchée sera ^-^ — 71

L'angle d n'est autre chose que l'arc abaissé perpendiculairement île l'angle A du triangle sphérique sur le côté opposé a; on peut par conséquent déterminer la valeur de siii!; par les sinus ou cosinus des côtés a, b, c du triangle; mais, pour noire objet, il sulfit de considérer que cette valeur, ainsi (]ue celle du sinus a, étant indépendante des lignes /), q, r, si l'on fait/) = i , y = i , /•= i , on aura le cas de la pyramide dont

f on a parlé ci-dessus, et dont la solidité est jr-

AU\ TRIANGLES SPHÉIUOUES. 3il

D'où il suit qu'on aura sinasin5=/; par conséquent on aura en

général ^^ pour la solidité de la pyramide triangulaire dans laquelle

les trois côtés ou arêtes qui forment un quelconque des angles solides sontp, g, r, et les angles compris entre ces trois côtés sont a, h, c.

Cette expression de la solidité de toute pyramide triangulaire par le moyen des trois côtés et des angles compris est, comme l'on voit, trèssimple et très-commode pour le calcul, surtout si l'on emploie pour la valeur de/ l'expression eu facteurs du n° 4, et elle peut être très-utile pour déterminer la solidité de tous les corps terminés par des plans, puisqu'on peut toujours les résoudre en pyramides triangulaires, comme on résout tous les polygones en triangles.