Au reste, puisque nous avons trouvé sinasinî =/, on aura

sinô= -J—\ sina

ainsi l'on peut déterminer par celte formule la perpendiculaire 9 dans tout triangle sphériquc dont a est la base, et h, c les deux côtés.

13. Je n'ai résolu les Problèmes précédents que pour avoir occasion de montrer l'origine et l'usage de quelques formules remanjuables, et surtout de la fonction que j'ai désignée par/, et qui mérite particulièrement l'attention des analystes par ses différentes applications. Je vais passer maintenant à des considérations générales sur la Trigonométrie sphérique envisagée analytiquemenl.

Les résolutions analyti([ues des triangles spbériques n'ont été d'abord que de simples applications de l'Algèbre aux constructions géométriques. On s'est contenté ensuite d'établir par la Géométrie quelques propositions fondamentales, et l'on a tiré toutes les formules de la Trigonométrie spbérique des équations données par ces propositions. Ce (|u'il y a de plus élégant dans ce genre est le Mémoire d'Euler intitulé: Trigonometrla sp/irœica universa ex primis principiis dem-ata, et imprimé dans les Actes de Pétersbourg pour l'année 1779, dans lequel on trouve

:5i2 PROBLÈMES RELATIFS

un système complet do formules trigonométriqucs, fondé uniquement sur trois équations. Mais ne pourrait-on pas simplifier encore ce système, en le réduisant à une seule équation fondamentale?

Cette réduction servirait à perfectionner la théorie analytique des triangles spbériques; car, dans l'Analyse, la perfection consiste à n'employer que le moindre nombre possible de principes, et à faire sortir de ces principes toutes les vérités qu'ils peuvent renfermer, par la seule force de l'Analyse; dans la méthode synthétique des lignes, elle consiste au contraire à démontrer isolément chaque proposition, de lu manière la plus simple, à l'aide des propositions déjà démontrées.

Feu de Gua avait déjà eu l'idée de faire dépendre toute la Trigonométrie sphérique d'une seule propriété générale des triangles spbériques; niais le Mémoire qu'il a donné sur ce sujet dans le volume de l'Académie des Sciences de 1783 contient des calculs si compliqués, qu'ils paraissent plus propres à montrer les inconvénienis de sa mélliode qu'à la faire adopter.

Je me propose ici le même objet, et je vais présenter un tableau succinct de toutes les formules de la Trigonométrie' sphérique, en les déduisant, par de simples transformations, d'une seule équation donnée par la nature des triangles sphériques.

14. Nous partirons, comme l'a fait de Gua, de l'équation (3) cosa = cosb cosc -i- s\i\h sine ces A,

ilans laquelle «, b, c sont les trois cotés ou arcs du triangle, et A est l'angle opposé au coté a.

Cette équation se démontre facilement par la seule considération des «leux triangles rcclilignes formés, l'un par les deux tangentes des arcs b et c, et par la droite qui joint les extrémités de ces tangentes, et l'autre par cette même droite et par les deux sécantes des mêmes arcs; car il est évident que les deux tangentes forment entre elles l'angle A compris entre les arcs b et c, et que les deux sécantes forment entre elles l'angle a qui est le coté du triangle sphéri(jue opposé à l'angle A.

AUX TRIANGLES SPHÉRIQUES. 3i3

Ainsi, nommant h le coté commun à ces deux triangles, on aura surle-champ, par le lliéorème connu sur les triangles rectilignes, l'équation