Reprenons ré(|ualion (A) du n
cosrt ^^ cosi) cosc + sin/> sine ces A;
iMi changeant a en c et A en C, on aura de même
COSC— cosa cosh -h sine/ sin l> cosC;
substituant celte valeur de cosc dans la pi'cmière équation, elle deviendra
cosrt -^ cosrt ces' A + sina sin /> ces/» cosC -f- sin/^ sinr' rosA,
savoii',
ros«sln^A - sina s\ul> cos^ cosC -H sin/> sine cosA,
l't, divisant par sin/>,
cosrt sin /y - sinrt pos6 cosC + sinccos A.
o I .-. • I sinasinC ,. , , ,,, ■ ,,,. .
Substituons pour smc sa valeur , — ; — > tirée de I équation (\i) du
numéro précédent, en changeant h en c et H en C; divisons ensuite par
cosrt cos A sina, et mettons cota et cotA à la place de -r— et -. -; on aura
' sma SinA
ré(|uation
C cotasinfc — colA sinC -h cosi cosC.
AUX TRIANGLES SPHÉllIQLES. 3i3
17, Enfin la même équation trouvée ci-Jessus,
cosflsin^ =^ sinacos/^cosC -t- sine- ces A, donne, en changeant a en b et A en B,
sina cos6 = cosasinècosC + sine ces B.
Substituant cette valeur de sinacosi dans la même équation, on a
cosrtsinZ» = cosrt sinZ» cos'C + sine ces B ces C + sine ces A,
savoir
cosasinfcsin^C = sine(cosB cosC + cosA);
, . . , sin/>sinC . , 11,. ,• /r.\ substituons pour sine sa valeur . — r- — > tirée de l équation B , en
changeant « en c et A en C; divisons ensuite par sin6 sinC et multiplions par sinB, on aura
cosa sinB sinC = cosB cosC + cosA, savoir
(D) cosA = — cosB cosC H- sinB sinC cosa.
18. Cette formule est, comme l'on voit, tout à fait analogue à la formule (A) du n° 14, d'où nous sommes partis; les angles A, B, C ont pris la place des côtés a, b, c, et réciproquement; et les cosinus sont devenus négatifs, les sinus demeurant positifs, ce qui indique que les côtés sont devenus les suppléments à deux droits des angles, et les angles les suppléments à deux droits des côtés. Ainsi toutes les formules qui résultent de la formule (A) seront vraies aussi, en y faisant ces mêmes changements.
Il résulte de là cette propriété connue des triangles sphériques, que tout triangle sphérique peut être changé en un autre dont les côtés et les angles soient respectivement suppléments des angles et des côtés du premier; et l'on sait que ce nouveau triangle, qu'on nomme siipplcmcntaire, est celui qui est formé sur la sphère par les trois pôles des arcs VII. 44
(jui formenl les côtés du triangle donné, en joignantces pôles par des arcs de grand cercle; ce qui se démontre facilement par une construction fort sim|)le.
19. Los quatre éijuations (A), (B), (C), (D) que nous venons do trouver ronfermont la solution de toutes les questions de la Trigonométrie spliériiiuo; car, comme il n'y a dans nn triangle sphériciuo que six éléments, les trois côtés et les trois angles, ol (juo trois de ces olémonls suffisent pour déterminer le triangle, il est clair que les relations les plus simples uc peuvent être qu'entre quatre éléments; or toutes les combinaisons différentes qu'on peut faire des six éléments, ])ris (piatro à quatre, se réduisent à ces quatre-ci :
1° Entre trois côtés et un angle : cette relation est donnée par l'équation (A);
2° Entre deux côtés et deux angles, qui peuvent être opposés respectivement aux deux côtés, ou l'un opposé, l'autre adjacent au même côté, ce qui fait deux cas : la relation eniro deux côtés et les deux angles opposés est donnée par l'équation (B);
3° Entre deux côtés et deux angles, dont l'un opposé et l'autre adjacent au même côté donné : cette relation est contenue dans l'équation (Cy;
4° Entre trois angles et un côté : cette relation est donnée par l'é- (juation (D).
20. Si l'on suppose l'angle A droit, les équations précédentes se simplifient et donnent celles-ci
COSrt =
= cosicosf,
sinrt ::
sin/> " siiib'
cota = coib cosC, cosrt== colBcolC;
et, si l'on suppose l'angle (' droit, les é([uations (C) et (D) donnent en-
AUX TRIANGLES SPHÉRIQUES. 3i7
core ces deux-ci
cot A = coin s'uïb,
cosA = sinB cosa.
Ces six équations donnent directement la solution de tous les cas des triangles sphéricjues rectangles; et, comme elles sont sous une forme très-commode pour l'emploi des logarithmes, on s'en sert communément dans la Trigonométrie en décomposant tous les triangles en triangles rectangles, par l'abaissement d'une perpendiculaire. Mais on peut également résoudre tous les cas par les quatre équations générales en réduisant ces équations en facteurs, au moyen des transformations que nous allons exposer.
21. L'équation (A. entre les trois côtés a, h, c et un angle A opposé au côté a peut servir à déterminer : i° A par a, b, c; 2° a par b, c et A; 3° b par a, c et A.
1° Pour déterminer A par a, b, c, on aura
cosa — cosôcosc
cosA= : — 7—^ 5
• smosmc
d'où l'on tire
, A\' cosa — cos i + <-■ I -+- ces A = 2 cos - =
. b + c — a . b 2 sin sin —
sinèsinc sin 6 sine
sin 6 sine sin 6 sine
2 sin sm -
/' A\' cos b — c —cosa 1 — cos A ^ 2 ( sin — I =
donc
2" Pour déterminer a par b, c et A, on a
cosrt = cos6 cosc H- s\nb sine cosA.
Il ne parait guère possible de réduire immédiatement cette équation
3i8 PROBLEMES RELATIFS
on lactours pour l'usage des logarithmes; mais on peut y parvenir par le moyen d'un angle subsidiaire. En elVel. si l'on fait
( b ) lange ces A = lang 9,
doiu
or
cosb -+- sinb tangç =
sinccosA = cosctangç, cos« ^= cosc(cos6 + siub tang9);
cos6 ces 9 + sin6sin9 cos(b — q\
C0S9 ces 9
donc
cosc ros(6 — 9)
COSrt :
