AUX TRIANGLES SPHÉRIQUES. 3W
1° Pour (lélermincr A })ar a, b, B, on aura
sinrtsinB
sinA =
sinft
2" Pour déterminer a par b, A, B, on aura
sin6 sin A
sinB
Ces formules n'ont besoin d'aucune transformation pour l'application des logarithmes.
23. L'équation fC) entre deux côtés a et b, et deux angles A, C, le premier opposé, le second adjacent au côté a, peut servir : i° à déterminer A para, b, C; i° h déterminer a par b. A, C; 3° à déterminer C par a, b. A; 4" à déterminer b par a, A, C.
1" Pour déterminer A par a, b, C, on aura l'équation
cotrtsin6 .p„^^A.
colA = colL coso;
smt'
et, pour la réduire en facteurs, on fera ^^^ = cot'j, ou bien
(g) tangflCOsC = tango;
donc cotrt = cosCcot'j; et, substituant cette valeur, on aura
colA = cotC^cot^sinè — cosb)
cote , . t • / 1 cotCsini6 — ?) .
= — — cososnio — sniocoso; = -r;— :
sina ' sin9
donc
colC sin 6 — o)
[h] COlA:
Cette réduction revient aussi à diviser le triangle en deux rectangles par une perpendiculaire abaissée de l'angle B sur le côté opposé b; et l'ande subsidiaire o est le segment de ce côté adjacent 'a l'angle C.
:{50 PROBLÈMES UJiLATIFS
■i" Pour déteiminor « pai" b. A, C, ou aura l'équalion
coiAsmC ,
cota = : — -, 1- col 0 cos L ,
sino
l't, |iour la ii'duii'e en facteurs, on fera colA
cosb
lang9;
donc, sultstituanl dans l'équation pour cotA sa valeur tangf cost, on aura
cola = col6(sinC lang9 -i- cosC)
col6 , . ,, . „ , colicosfC — <p)
= ■ sinLsino + cosC coso)) =: ^ ■ ;
cos 9 ^' COS9
donc
, col6cos(C — m)
/. COtrt = 5 — -
cos 9
Celle réduction revient encore à diviser le lrianii;le en deux rectangles, en abaissant une perpendiculaire de l'angle C sur le côté c, et l'angle subsidiaire y est le segment de l'angle C adjacent au côté b.
V Pour déterminer C par a, b. A, il faudrait tirer de l'équation (C) la valeur de sinC ou de cosC par la résolution d'une équation du second degré, et l'on aurait une expression qui contiendrait un radical. Mais la transformation précédente est également utile pour résoudre ces cas; car, ayant trouvé l'angle y par l'équation {i), l'équation {h) donnera .
,,. //-. \ coiacos©
/ cosC — 9 = -, — i.
4" Eniin, pour déterminer b par «, A, C, il faudrait aussi tirer de la Miéme équation (Cj la valeur de s'mb ou cosb par la résolution d'une équation du second degré. Mais la transformation employée pour le premier cas servira aussi pour résoudre celui-ci; car, ayant trouvé l'angle
AUX TRIANGLES SPHÉUIQUES. 3o!
subsidiaire 7 par l'équation [g], l'équation (A) donnera
. ,, > cotAsincp
colC
24. Enfin l'équation (D) entre les. trois angles A, B, (\ et un côté a servira à déterminer : i" a par A, B, C; 2" A par a, B, C; 3" B par a, A, C. Comme ces trois cas répondent à ceux qui d'épendent de l'équation (A), dont l'équation (D) n'est qu'une transformée, on peut y appliquer immédiatement les formules que nous avons données pour ceux-ci dans le n" 21, en y substituant au lieu des côtés a, b, c les suppléments à deux droits des angles A, B, C, et au lieu de ces angles les suppléments à deux droits des côtés opposés «, i, c (18).
Ainsi : i" pour déterminer a par K, B, C, l'équation [a] du n'' 21 donnera la transformée
cos cos
B-1-C-HA B-i-C — A
cos cos
2" Pour déterminer A par a, B, C, on fera les mêmes substitutions dans les formules (6) et [c) du même numéro; et, prenant au lieu de l'angle o son complément à un droit, on aura ces deux équations
cos A
langC cosrt = colo, cosC sin (B — q
sintp
3° Les mêmes équations serviront à déterminer B par a. A, (>, car. ayant trouvé o par l'écjualion (o), l'équation (/>) donnera
ces A sin 9
(?) s.n(B-yl= ^^^^ ■
25. On peut donc, par ces formules, trouver directement un côté ou un angle cjuelconque par trois parties données, soit côtés ou angles; ce
qui renferme toute la théorie des triangles sphériques. Mais, lorsqu'on a à chercher à la fois deux côtés par le troisième côté et les deux angles opposés, ou deux angles par le troisième angle et les deux côtés opposés, il est plus commode d'employer les formules trouvées par Neper entre ces cinq parties. A'oici la manière la plus simple de parvenir à ces formules :
On a trouvé dans le n" 21
/ sin sin
/ . b -^ c -\- a . b -h c — a 1 sin sm
On aura de même pour l'angle B, en changeant A en B et a en b.
C 4 A'"y sin -
sin
sin
sin
sin
donc, multipliant ensemble.
lang- lang-
si l'on change dans cette équation b en c et B en C, on aura
t3ng-iang-= „^i,^,sin
il changeant dans la même équation rt en c et B en C, ou aura
lang - lang - = ^ . ,^J
AUX TRIANGLES SPIIÉRIQUES. 353
d-onc, njoulant ensemblo, on aura
tang- -hlang- lang- =
sin h sin asm - cos
. a-^-b-\-c . a-hbsin sin
et, retranchant les mornes équations l'une de l'autre, on aura
, a— b-\-c . b-hc — n c . a — b
tang - lang -
(lang- D'un autre côté, on a
sui sin acos-siri
sin ■ sin
fi -\-b + c n-h b — c . n -h b c
I + tang— lang -
I — lang— lanc - =r
sin h sin 2sin oos
. a + b -h c a-\- b -h i sin sin
. n -h b -h (• . a + b — c c a -h b Sin sin 2Sin-cos^
. « -+- 6 -)- c .« + /' + sin sin
A±B tang-±lang-
Donc, puisque tang — ^— = :—^ :^, on aura ces deux é(iua-
i+>ang^ tang-
lions
('•) lang lans - =
a + b cos
tang-^lang- = --^-^.
sin
On peut déduire des formules semblables de l'équation [n] du n''2i. et, sans faire un nouveau calcul, il n'y aura (|u'à changer les cotés a, h, c dans les suppléments à deux droits des angles A, B, C, et ces angles VII. 45
cos sin
sin
334 PUOBLÉMES RELATIFS
dans les suppicmcnis à tleiix droits des mêmes côlés. Do celte mauièio on aura siir-le-cli:imi) ces deux autres équations
I tang • col-
tang —^ — col - =
Ces quatre équations serviront donc à trouvei' directement, et sans le secours d'aucun angle subsidiaire, les deux angles A et H pai' les deux cotés opposés a et h, avec l'angle intercepté C, ou ces deux côtés par les angles opposés et par le troisième côté.
26. Avant de terminer ce Mémoire, je crois devoir dire deux mots de la comparaison des triangles sphériques aux triangles rectilignes. En prenant, ainsi qu'on le fait communément, le rayon de la sphère pour l'unité, il est clair que les arcs qui forment un triangle spliérique expriment naturellement des angles dont on trouve les sinus et cosinus dans les Tables; si le rayon de la sphère n'est pas l'unité, alors, pour avoir la valeur angulaire des côtés du triangle, il faut diviser leur valeur absolue par le rayon. Ainsi, si a, /3, •/ sont les longueurs absolues des arcs qui forment un triangle spliérique sur la surface d'une sphère dont
le rayon est r, on aura '^î '^' - pour les angles correspondants à ces
arcs, et ce sont ces quantités (ju'il faudra prendre pour les côtés que nous avons désignés par a, h, c, en supposant que A, B, C soient les angles opposés aux arcs a, [j, y dans le triangle proposé.
Or, si le rayon de la sphère devient infiniment grand, sa surface se change en un plan, et le triangle spliéiique devient rectilignc; d'où il
suit que si, dans les formules des triangles, on substitue partout -» -> ''
il la place de a, h, c, qu'ensuite; on suppose ;• intiniment grand, et
AUX TlUAiNGLES SPHÉHIQLES. 3oo
qu'ayant réduit en série les sinus et cosinus de ces angles, on rejette les
termes qui s'évanouissent par la supposition de - = o, on aura le cas
des triangles rectilignes, dans les(juels a, /3, y sont les cotés et A, B, C les angles opposés.
Ainsi, si ^'= o est une équation entre les sinus et cosinus de a, h, c
et de A, B, C, on substituera, pour sin^, '- 1- . . . ; pour cosrt,
I — H ir~, — + . . ., et pour ûtth, cosi, sine, cosc des valeurs
pareilles, en changeant a en jS, 7, et réduisant en série suivant les
puissances descendantes de r, ce qui donnera
un aura pour le triangle rectiligne récjuation P=o; car l'équation V^o donne, en niultipliaiit par /'",
et, taisant = u, on a P = o.
On ponri'ait de cette manière déduire les règles de la Trigonométrie rectiligne des équations fondamentales de la Trigonométrie sphérique; mais cela n'aurait d'utilité que comme exercice de calcul, puisque ce serait démontrer le simple par le composé : nous nous contenterons de remarquer (jue l'équation (D) du n" 17 donne tout de suite celle-ci
cosA = sinBsinC — - cosB cosC,
savoir
cosA = — cos(B — C),
d'où l'on tire
A = 2 D - B — C, c'esl-à-dire, A -4- B -f- C = 2D,
D étant l'angle droit; ce qui est la propriété connue des triangles rectilignes.
336 PROBLÈMES UELATIFS
27. .Maintenant, si le rayon r de la sphère, au lieu d'être infiniment grand, est seulement très-grand, le triangle spliérique ne deviendra pas rectiligne, mais en approchera très-près; et dans ce cas, comme les angles fl, b, c qui répondent aux côtés devieniieiil tiès-pelils, les Tables trigonométriques ordinaires n'olTriraient plus une précision suffisante pour le calcul des côtés et des angles. Il y a donc alors de l'avantage à traiter les triangles sphériques comme reclilignes, en ayant égard à la petite correction qui résulte de leur dilTéronce.
Le cas dont il s'agit a lieu surtout dans le calcul dos triangles qu'on forme sur la surface de la Terre pour mesurer un arc du méridien ; dans ces triangles, les quantités a, p, y sont les longueurs mêmes des côtés, et r est le rayon de la Terre.
Pour déterminer la correction dont nous venons de parler, nous prendrons l'équation (.\) du n° 14, qui sert de fondement à toute la Trigonométrie sphérique, et qui donne
cosa — cos6cosr
cosA = -. — i — -. — •
smf»siiic
Faisons dans le second membre les substitutions indiquées ci-dessus, en nous arrêtant aux termes divisés par r', nous aurons d'abord
CCS .\ =
■il-'' 2.3.4''" 4'"' .
mnilipliant le haut et le bas de la fraction par r-, et substituant le
facteur i 4- ^ — à la place du diviseur i — '^ "f ''■■> on aura, en négli-
géant les termes divisés par des puissances plus hautes que r-,
rosA = t^' + y'-'^' + «' - S' - y JV. + ((3' + y^-a')(;5'+y':
(3' -<- y' — a' at' -h fi' -4- y'— 2ia!'{5' — aa'y"— 2P'y' 2^y 2.3.4Py'"
AUX TRIANGLES SPHEllIOLES. 337
En faisant - = o, l'angle A devient l'angle opposé au côté y. dans le
triangle recliligne dont «, ,S, 7 seraient les côtés. Désignons cet angle par A'; on aura donc
cosA'= ■!- '- ■>
■2py
et do là
sin^A = — , ,, , '
LOinnu' ou l'a vu ci-dessus (1 et 2); donc, substituant ces valeurs dans l'oqualion précédente, elle deviendra
|3ysin'A' cosA = cosA'— ..,'•.
or, dans le triangle recliligne dont a, /3, 7 sont les côtés, il est visible
que '''"^^'"" en exprime l'aire. Donc, si l'on désigne cette aire par 5.
on aura
5sinA'
cosA := cosA TT-. — '
d'où il suit qu'on aura, aux quantités de l'ordre de — près.
El, comme en changeant le côté a en [S ou 7, l'angle A se change en B ou C, si l'on désigne de mémo par B' et C les angles opposés aux côtés [t. et 7 dans le triangle recliligne, on aura également
fj 3;'
3y puisque la ijuanlilé î, (jui est égale à l'uirc du triangle rectiligne, e>t
:?o8 PROBLÈMES UKI.ATIIS
une t'oiRlion (iiii dépciul ('gaiement des trois cotés a, /3, y, de manière (|irelle ne eliange pas en faisant entre ces qnanlilés tels échanges (|ii'on voudra.
Donc, loisiju'on a un triangle spliériquc tracé sur la surl'ace d'une splièrc dont le rayon r est très- grand, si l'on forme un triangle rectiiigne dont les cotés aient la même longueur (|uc ceux du triangle spliérique, les angles de celui-ci seront égaux aux angles correspondants du
Irianiile rectili^ne, aunnientcs chacun de la (luantité r—) 0 étant l'aire
<lu triangle recliligne, en ayant soin de réduire la valeur de cette quantité en angles, c'est-h-dire, en prenant pour unité l'angle qui répond à l'arc égal au rayon.
