Si l'on ajoute ensemble les trois équations

on a

mais on sait que

I) étant l'angle droit; donc on aura

D'où l'on peut conclure qu'en retranchant de cliacjue angle du triangle sphérique le tiers de l'excès de la somme de ses trois angles sur deux droits, on aura les trois angles d'un triangle recliligne dont les côtés seront égaux en longueur à ceux du triangle spliéri(|ue. Ainsi l'on pourra traiter celui-ci comme un triangle rectiligne, et les résultats

seront exac^ts aux (juantités près de l'oidrc — ■

Ce beau théorème est dû à Legendre, qui l'a donné d'abord sans dé-

AUX TRIANGLES SPHÉRIQUES. 3o9

monslration dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1787, et qni vient de le démontrer d'une manière un peu diti'érente de la précédente, dans un Mémoire sur la mélhode de déterminer la longueur du quart du méridien. Comme il peut être d'une grande utilité dans tous les cas où l'on a à calculer des triangles sphériqués peu diHérents des triangles reclilignes, nous avons cru qu'on serait bien aise de le trouver ici.

on SE RENCONTRE

DANS LE CALCUL DE L'ATTRACTION DES SPHÉROÏDES TRÈS-PEU DIFFÉRENTS DE LA SPHÈRE.

Qll SE RESCOXIRE

DANS LE CALCUL DE L'ATTRACTION DES SPHÉROÏDES TRÈS-PEU DIFFÉRENTS DE LA SPHÈRE.

[Journal de l'École Polytechnique, XV Cahier, t. YIII, 1809. )

D'Alembert est le premier qui ait donné le calcul de l'attraction des sphéroïdes non elliptiques, mais peu diiTérents de la sphère, dans le second et le troisième volume de ses Recherches sur le système du Monde. M. Laplace a traité ensuite cette matière d'une manière nouvelle et plus générale qu'on ne l'avait fait, dans les Mémoires de l' Académie des Sciences de 1782, et dans le second volume de sa Mécanique céleste. Sa théorie est fondée sur un beau théorème très-remarquable par sa simplicité autant que par sa généralité; mais ce théorème donne lieu à une difficulté singulière, qui parait n'avoir encore été remarquée par personne, et qui mérite d'être examinée.

1. Soient, comme dans les Mémoires à^i 1782 (page i34) et dans la Mécanique céleste (tome II), r la distance du point attiré au point pris pour centre du sphéroïde, 0 l'angle que le rayon r fait avec un axe fixe passant par le centre, zs l'angle que le plan passant par cet axe et par le ravon r fait avec le plan invariable passant par le même axe; soit, de plus, R la distance d'une molécule du sphéroïde au centre, et soient 5',

:J(iV ÉCLAIRCISSEMENT

V,' ce que deviennent les angles 0, vs relalivemont à cette molécule; la distance do la molécule au point attiré sera \r-— 2/Rp. + R'^; en faisant, pour abréger,

^j. = cosB cos5'+ sin^ sin6'cos(ro — nr'),

la masse de la molécule sera R-rfRf/5Vfe' sin(J', el, si l'on désigne par V la somme des molécules divisées par leurs distances au point attiré, on aura

l'intégrale relative à R devant être prise depuis R = o jusqu'à la valeur

de R à la surface du sphéro'ide, l'intégrale relative à ra' devant être prise

depuis ct'= o jusqu'à ïïi'= 3Go°, et celle qui est relative à 5' ou à p.,

depuis 0'= o jusqu'à 6'= i8o". La valeur de V étant ainsi déterminée,

dV i dy i dV I . • » ,• 1 I • 1 I

on aura -!-i — 77-- — ^-r -7— pour les trois attractions du sphéroïde dans ar r i/o rstnO dus ' '

le sens du rayon /•, et perpendiculairement à ce rayon dans le plan de r et R, et dans un plan perpendiculaire à celui-ci.

2. Supposons maintenant que le sphéroïde soit très-peu différent d'une sphère dont le rayon soit égal à a; on aura R = a(i4-j''), y' étant une fonction très-petite de sinus et cosinus de zs' el 0' , dont on négligera le carré el les puissances supérieures; il est clair (jue la valeur de V sera égale à sa valeur relativement à la sphère, plus à la valeur relative à l'excès du sphéroïde sur la sphère. On sait, el il est facile de prouver que la première est égale à la masse de la sphère divisée par

la dislance /■; elle est ainsi exprimée par '' ; en noinmanl - l'angle

de 180". Quant à la seconde, comme nous ne tenons compte ([ue des priiuiières dimensions de y', il est aisé de voir qu'on l'aura en mettant, dans l'expression précédeiile de V, a à la place de R, el ay' à celle de flW. Ainsi, en nommant celle seconde partie 11, on aura

V=-^5 h M, et 11 = a' \ I ; »

•*'' J J \/r'— 2aij.r-h a^

D'UNE DIFFICULTE SINGULIERE. SG.'i

où il n'y a plus que deux intégrations à faire, l'une relative a ttJ , l'autre relative à £/' ou à [j..

Je diirérentie maintenant, comme M. Laplace, par rapport à r; j'ai

d\ 4 ~rt' du

dr ir' dr '

du , /•/•(/• — rt a) rVfe'rfS' si n

'cT- ~'~ \ I ''~ -~

Lorsque le point attiré est à la surface du sphéroïde, on a /■ = «(i 4- vj, en désignant par y ce que devient r', lorsque 0' et w' deviennent 5 et îî;; mais, comme nous négligeons dans u les quantités du second ordre, il suffit de faire /• = a. On aura ainsi

du (i r f'^ — y- ^ y'ft^'dQ' sin 5' « Ç Ç r' djs' dO' s\

du (i /• /"l'i — y.] r'ffeV/ô'sin^' a (* C y' dm' dff sm h'

donc

■^u -i- a-T- = o, dr

équation ([ui doit avoir lieu à la surface du sphéroïde. Donc on aura aussi à cette surface

, , dV 2 7yrt' J\T:n^ (/;■ ir il-

OÙ il faut faire /• = a(n-j'), ce qui donnera

dV ■y.T.nr {V -i- a -— ^ \- 2 T.a-y.

.AI. Laplace trouve i V -1- « jr = — — ^^' parce ([u'il suppose ipic la sphère louciie le sphéroïde, auquel cas j = o.

:j(ili ECLAIRCISSEMENT

3. ('.(iiisidérons l'équation ^ii ■+- (i -j^ =0, (jui csl iiiilcpcndaiitc de la valfur (le v' dans 11, et supposons d'ahord y' constant; on aura

rfmWG'sin&'

. / / «m «(y sine/ J J V'"' — ara a h- ct-

Il est lacile d avoir I inleifralc de ; car, en tiansporlanl

"^ y /■= — 7. raij. + a'

l'axe ou le pôle des angles ro', 5' dans la ligne /•, ce (|ui.esl permis,

puisque cette ligne est fixe par rapport aux mêmes angles, on a 0 = o,

( (■ (|ui donne fA = cos5', et réduit la dillérentielle dont il s'agit à

dTs'dfjL

y'/-' — 2 ra y. -+- a'

lat|uclle doit être intégrée depuis -' —- o jusqu'à 5t'= 27:, et depuis 'J. '- - I jus(iu'à fJL = — r . La première intégration donne