Nommons c;, pour abréger, le radical

y /-^ — iraij. -t- rt-

en sorte que l'on ait n = a^ffpy'drTi'dS'sïnO'; comme /■ n'est contenue que dans o, on aura

{n + a-j- =a^ i j l\p -i- a ~] }-'dw'd9' sinQ' ,

en faisant r= a après la dilTérentiation. Or

dp aij. — /■

[r' — larij. -\- œ' i'

faisant /• = a, on a

donc ^p + a-.-; = o, équation identique.

Si l'on réduit, comme l'a fait M. Laplace, le radical o en une série descendante par rapport à /', on aura

Rf») rtR(" «'R(=)

.^-!i^ 2^(" 3«=R'=) dr /• r' r'

d'où résulte

do I /R(") 3nR^') 5a'R(^)

ïP + '• ± = - .T — + -T7- + - .Ta- + • • • >

:}ti8 ÉCLAIRCISSEMENT

et. l'aisanl /■:=«,

^p + «^ = - — (U(»)+ 3R(') 4- 5U(') +...), "^ (/r za^ '

série dans la(|uelli' tous les termes doivent se détruire d'eux-mêmes; ce (ju'ou trouve, en elïet, après la substitution des valeurs de IV"', R ' , ... en (onction de [x.

On n'a pas besoin, pour s'en convaincre, d'efrectuer ces substitutions;

car, puis(|ue p ^ [r — ^aru. -t- cr ) - , on aura

PV= '■+ --^«F

et, ditlerenlianl par rapport à r.

donc, nuillipliant par \r.

Ur . ,y lir' — i.aru.-\-u]

air'— lara 4- a^) ri

sorte qu'on aura identiquement

RC" 3aRi" 5aR(') <■' /R(») aRC) a'RP)

par conséquent, en faisant r = r/, la série R"" -+- 3R'" + 5R'-' + . . . sera nécessairement nulle.

5. La fonction ip H- fl-^ de [j. est donc toujours identi(juemenl nulle;

donc l'intégrale de cette fonction, multipliée par jV^V/i/'sin(5', étant sup[)osée nulle, lorsque 7:7'= o et 0'— o, devrait être toujours nulle par les principes du Calcul intégral, suivant lesquels l'intégrale est

regardée comme la somme Je toutes les valeurs successives de la diiïe-

rentielle. Ainsi l'on devrait avoir toujours l'équation -^u + a-j-^ = o

que nous avons trouvée d'abord; cependant nous venons de voir que, dans le cas le plus simple, où j' est constant, on a

i/u 4 « H- rt -7- = — 271 a'r, (//• ■'

ce qui est un paradoxe dans le Calcul intégral.

6. Pour en trouver l'explication, je vais reprendre l'analyse qui a

donné l'équation |« + « y^ = o, et je ferai d'abord le calcul sans rien

négliger. Puisque a = a^ff(jy'd7z'd9' s\n5', et que la quantité r n'est contenue que dans l'expression de p, il n'y a nul doute qu'en différentiant par rapport h r, on n'ait

-^ = rt' \ I -j- V «C7 1/6 siii5 .

donc

(,.i — arfla -+- «')•

donc on aura

jit + r-r- = — I j p'y'drs dO' smô .

On voit ici, en effet, qu'en faisant r = a, le second terme de l'équation disparait, et qu'on a rigoureusement, quel que soit v', l'équation

Donc, puisque d'un autre côté la valeur de ^u-hay- n'est pas toujours