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nulle, il faut ([lie le terme imilliplié par/-- — a- ne disparaisse pas toujours en faisant r = o.
7. Pour aller du plus simple au plus composé, nous commencerons par examiner le cas où y' est une quantité constante. Dans ce cas, on n'a qu'à cherclier l'intégrale de ^"^ ârz' dO' ûnQ' , et, pour cela, nous pouvons supposer, comme dans le n" 3, l'angle 0 nul, ce qui donne ,y. = cos5' et rfa = — sin5'J5'; de sorte que la différentielle dont il s'agit deviendra
djs'du.
(/•' — laru. + a}) Intégrant d'al)ord par rapport à w' , on a .
•J.TT (la
[r- — aaru. •+- œ
intégrant ensuite par rapport à ;j., on a
ar\Jr^ — lar^j. -+- a'
et, complétant depuis y. = i jusqu'à a= — i, on aura l'intégrale
complète
ni-\ r — a] r\ r- — u'i
Ainsi la valeur complète de JJo^y'dTz'd'j' ^mO' , lorsque y' est constant, est — -' , ' quelle que soit la valeur de r. Substituant celte valeur dans l'équation du numéro précédent, on aura
du 27rfl'r'
Si maintenant on fait /= a, elle devient
(lu
' dr •'
comme on l'a trouvée dans le n" 3, les quantités y' et y étant ici les
8. Considérons maintenant le cas général dans lequel y' est supposé une fonction de sinus el de cosinus des angles s>' et 0'; on aura à intégrer la quantité p^y'drô'dO' s\nO', et, pour cela, nous transporterons aussi, comme dans le n" 3, l'axe ou le pôle des angles variables rô', 0', qui déterminent la position de chaque molécule sur la sphère, dans la ligne r menée du centre au point attiré. Nommons o el ^ ce que deviennent alors les angles t^' et 5'; on aura également d'pd<\i s'm^ pour l'élément dzs'dS' smO'^ et cosij^ pour la valeur de (x; de sorte que la différentielle dont il s'agit deviendra — p^yUh du., qu'il faudra intégrer depuis ç = o jusqu'à o = 2-, et depuis u. = i jusiju'à y. = — i.
Mais, comme^' est supposé fonction de sinus et cosinus des angles??' et 0', qui ont leur pôle dans un axe fixe indépendant de la position du point attiré ou de la ligne r, il faudra substituer dans j', à la place des sinus et cosinus de ttt' et 0', leurs valeurs en sinus et cosinus de 9 et d/. Pour cela, il n'y a qu'à considérer le triangle sphérique qui a les angles 5, 5' et fif pour ses trois côtés, et dans lequel w — cr' est l'angle opposé au côté '}, et 9 est l'angle opposé au côté 5', et les formules connues de la Trigonométrie sphérique donneront
cosÔ'= cos5 cos'i/ + sinS siin{> COS9,
sin5' sin(în— ra') = sin4' sino,
sin6'cos(ro — ra') =sin9 cos^' — cos5 sin^|i ces 9.
Ainsi la formule o^'y'dz. d-j. sera intégrable toutes les fois que j' sera une fonction rationnelle et entière de cosS', sinô'sinw', sin 5' cossr', parce que l'intégrale relative à f fera disparaître toutes les puissances impaires du sinus. C'est ainsi que d'Alembert a calculé Tatlraction des sphéroïdes peu différents de la sphère; mais pour notre objet il suffit d'avoir réduit l'intégration delà formule o^vVfcV/5'sin 5' à celle de la formule — p^y'd'^dij..
9. Commençons pnr rintégiation rehuivc à [J.; la dilléieiuiellc Y'rj'du., intégrée par parties, donne
r'jyda- j ^ J'p\liJ.)du..
Or
donc
(le sorte ([iie l'intégrale dont il s'agit deviendra
y'o fdy' p</iJ.
ar J (Ifj. ar
Comme l'intégration doit s'étendre depuis p. = i jusqu'à [j. ^^ — i , el qu'il la première de ces limites y' devient j, si l'on nomme Y ee »|ue y'
devient à la seconde limite, la valeur complète du terme — !- hors du
' ar
signe sera
ar{r-ha) ar r — a]
Or, y et Y répondant à (J/ = o el '| = -, à cause de /7. = cos<|<, auxijuels cas tt;' et 5' deviennent tt, et 5, il est visihie que ces quantités seront indépendantes de 9; ainsi l'intégration relative à 'f, depuis y = o jusqu'à 9 = 27î, exécutée sur le même terme, donnera
27rY o.nr
«/'(/• H- a) ar[r—a]
On pourra donc substituer dans l'équation en u du x\° 6, à la place de iSfi^yd^'ilO' ^mO' , la quantité
ar^r— «j ar
ce (]ni la cliangcra en celle-ci
(In
f.r.\ Ç r(l/ ft(Jtj.th
- — ■■ 1 ^ '■ I I 0 c/ado,
r r -xar J J cl y. '
dans laquelle il faut faire maintenant /• = a, ce qui la réduit à celle-ci
du ' dr
comme dans les cas où y est constant.
Il est bon de remarquer qu'une nouvelle intégration par parties, exécutée sur la différentielle ~ pd'x, n'ajouterait rien à l'éciuation (jue nous venons de trouver; car, l'intégrale de pd;j. étant
r- — -îaru. -h a-
ar^ ar
il n'en peut résulter aucun ternie où le facteur / — a, qui devient nul lorsque r = a, soit détruit par la division.
