VIL
4. Nous désignerons toujours, dans l;i suite, los valeurs vraies ou apparentes des mêmes quantités par les mêmes lettres, sans trait ou marquées d'un trait; de sorte que les mêmes formules qu'on trouvera |i(uii' les valeurs vraies pourront être appliquées sur-le-champ aux valeurs apparentes, en ne faisant que marquer toutes les lettres d'un trait.
Ainsi, comme nous avons désigné par a?, j, z les trois coordonnées rectangles du lieu vrai de l'astre, x' , y' , z' seront les coordonnées de son lieu apparent; de sorte qu'on aura
De plus, ayant appelé a la longitude vraie, b la latitude vraie de l'astre, et rsa distance vraie au centre de la Terre, on nommera a, h', r' la longitude apparente, la latitude apparente cl la distance apparente du même astre pour un observateur placé au centre de la Terre, qui y verrait cet astre de la même manière que le voit l'observateur placé sur sa surface, et l'on aura, comme dans le n°2,
x' ^z r' cosa' cosb', y'=^ r' s\na' cosb', 2'=f'sin/>'.
Par ces formules on pourra déterminer, si l'on veut, les valeurs apparentes a', b', r' par les vraies a, b, r, aussitôt qu'on connaîtra les voleurs des coordonnées 2, vî, Ç du lieu de l'observateur.
5. Soient p le rayon de la Terre qui répond au lieu de l'observateur, /i l'ani^le ([ue ce rayon fait avec le plan de l'écliptique dans l'héniisplière boréal, et g l'angle que la projeetion du même l'ayon sur ce plan fait avec la ligne de l'équinoxe du printemps du côté de l'orient; il est visible qu'on aura
^ = prosg'Cos//, y, = psingTOs/f, Ç = psinA.
Or il n'est pas diUicile de voir que le point du cercle de réclipti<iue où tond)e la projection du rayon p est celui qu'on appelle en Astronomie le nonagc'simc; donc l'angle g sera égal à la longitude du nonagésime pour le lieu donné, et l'angle A sera la distance du nonagésime
au zénilli de ce lieu, c'est-à-dire le complément à 90 degrés de la iiauteur (lu nonagésime. Ainsi, connaissant la longitude et la hauteur du nonagésimc, on aura sur-le-champ les valeurs des coordonnées cherchées. Or on a déjà des Tahles toutes calculées, par lesquelles on peut trouver ces deux éléments pour un temps quelconque et pour une latitude terrestre quelconque; mais la grande étendue de ces Tables, qui occupent deux volumes in-S", les rend d'un usage peu commun, et l'objet principal de ce Mémoire est de donner des moyens plus simples et plus abrégés de parvenir au même but; c'est pourquoi nous allons déterminer directement les valeurs des coordonnées dont il s'agit.
6. Soient 9 l'angle que le rayon de la Terre 0, aboutissant au lieu de l'observateur sur la surface, fait avec le plan de l'éijuateur, et 0 l'angle que la projection du même rayon sur ce plan fait avec la ligne de l'équinoxe du printemps; il est visible que, si l'on veut rapporter le lieu de l'observateur au plan de l'équateur, par le moyen de trois coordonnées rectangles |', r,', 'Ç, dont la première ç' soit prise dans la ligne de l'équinoxe, la seconde r/ soit perpendiculaire à cette ligne dans le plan de l'équateur, et la troisième Ç' soit perpendiculaire à ce même plan, il est visible, dis-je, qu'on aura des formules analogues aux précédentes,
savoir
^'= p cosScoso, ï;'=: psinO coso, Ç'=psincp.
Maintenant, comme le plan de l'écliptique coupe celui de l'équateur dans la ligne des équinoxes, et est élevé sur ce même plan d'un angle égal à l'obliquité de l'écliptique, que nous désignerons par u, il est aisé de trouver, par la théorie du changement des coordonnées, que l'on aura, par rapport à l'écliptique,
? = ï', v; =-/)'cos6i -f- ï'sino), i; = Ç'cosoj — v^'sinoi; de sorte qu'en substituant il viendra
$ = pcosôcos9,
v) =: p (sinO COS9 cosM -I- sino sinw),
Ç :=p(sin<» cosM — sinO cososinco",
120 SUR LE CALCl L DES ÉCLIPSES
et il est aisé tle voir que ces valeurs sont telles que
comme cela doit ètie.
7. A l'égard des angles 5 et '>, il est évident que 5 n'est autre chose que l'angle que le méridien du lieu de l'observateur fait avec le colure de l'équinoxe du printemps; c'est par conséquent ce (|u'on appelle Vascension droite du milieu du ciel, et qu'on trouve dans toutes les Epliémérides pour tous les jours à midi; c'est, comme l'on sait, la somme de la longitude moyenne du Soleil et du temps moyen converti en degrés, à raison de i5 degrés par heure.
Quant à l'autre angle o, il est visible que, dans l'hypothèse de la Terre sphérique, cet angle est égal à la latitude terrestre supposée boréale du lieu proposé; mais, dans le cas de la Terre sphéroïdique, si l'on nomme z le rapport du petit axe au grand axe, et que o' soit la latitude terrestre observée, c'est-à-dire l'angle de la verticale avec le plan de l'équateur, on a tang'j = =- tang'/, d'où l'on tire, par les
séries,
' — £' • t '/' — =" \ ■■/- » o = o sm?.ci H — sm4'-> — •■••
La différence entre o et o' est, comme l'on voit, très-petite dans le cas de la Terre, où i— £ = vj7, suivant Newton; et, dans cette hypothèse, nos Tables astronomiques donnent les valeurs de 9'— y pour tous les degrés de latitude (t. Ilf, p. i65, 167, col. 4)- Cette différence entre es' et o peut s'appeler la réduclion de la latitude obsen'ée o' , et l'angle 9 peut se nommer, en conséquence, la latitude réduite, et ce sera celle qu'il faudra toujours employer dans nos formules.
Pour ce qui concerne le rayon 0 du sphéroïde, en prenant le rayon de l'équateur pour l'unité, on a
et, si l'on substitue à la place de cosao sa valeur en s', laquelle, à
SUJETTES AUX PAKALLAXES. 421
, I — lang^o . ' 1 . ' — e' + (i + £*) C0S5. o'
cause (le cos2'j = ^i est égale a — — î t{ -,■, on
' i + iang^cp ° I + £' + (i — E*) C0S3. 9
trouve
/ 1 + î' + ' r — e' I cos 2 o'
d'où l'on peut aisément tirer la valeur de p exprimée par une série très-convergente, qui procède suivant les cosinus des angles multiples de 2's ou de 29'.
Dans l'endroit déjà cité des Tables astronomiques, on trouve la valeur de p en toises, pour chaque degré de latitude 9'; on y trouve aussi (pages citées, col. 6), en parties du rayon de l'équateur, la valeur de pcos('y — çj), c'est-à-dire la distance du centre de la Terre au plan horizontal du lieu dont la latitude apparente est 9', et cette valeur est proprement celle par laquelle il faut multiplier le sinus de la parallaxe horizontale équatorienno, pour avoir le sinus de la vraie parallaxe horizontale hors de l'équateur.
Dans la suite nous n'aurons pas besoin de cette parallaxe, mais seulement de celle dont le sinus est au sinus de la parallaxe horizontale équatorienne comme pA i, et que nous nommerons, pour la distinguer de l'autre, la plus grande parallaxe de hauteur. Ainsi, ayant la parallaxe horizontale équatorienne par les Tables, il faudra multiplier son sinus par le nombre correspondant à la latitude du lieu dans la sixième colonne de la Table citée, et de plus, par la sécante de l'angle de la quatrième colonne de la même Table, pour avoir le sinus de la plus grande parallaxe de hauteur.
8. Nous avons supposé jusqu'ici que les trois axes des coordonnées sont : le premier, dans la ligne de l'équinoxe du printen)ps; le second, perpendiculaire à celte ligne dans le plan de l'écliptique du côté de l'orient; le troisième, perpendiculaire au plan de l'écliptique dans l'hémisphère boréal, et que ces trois axes se coupent au centre de la sphère.
Pour donner maintenant plus d'étendue à nos formules, nous changerons encore la position de ces axes, en sorte que le premier se trouve
dirigé vers un astre quelconque dont la longitude soit « et la laliludc boréale [i; que le second axe soit perpendiculaire à celui-là et placé dans le plan de l'écliplique à l'orient du premier, et que le troisième axe soil perpendiculaire à ces deux-là dans l'hémisphère boréal.
Pour cela, nous commencerons par changer la position des deux premiers axes, en sorte qu'ils demeurent dans réelipti(jue, mais qu'ils soient plus avancés vers l'orient d'un angle = a. Et, nommant pour un moment x',j' les nouvelles coordonnées dans lesquelles les coordonnées X, y doivent se changer par ce déplacement des axes, on aura
visiblement
x' = X CCS a +^'sin3;, y' = jcosac — xsina.
.Maintenant il est clair que l'axe des y' a déjà la position convenable, et qu'il n'y a plus qu'à faire tourner les deux autres axes autour de celui-ci, en sorte que l'axe des x' s'élève vers le pôle boréal de l'écliplique et fasse avec le plan de l'écliptique un angle = j'3. Or, nommant x" et z' les nouvelles coordonnées dans lesquelles doivent se changer les coordonnées précédentes x', z, on aura pareillement :i" = a-'cosp -+-zsin(3, z' = z cos^ — x' s'in^,
et les coordonnées cherchées seront x", y', z' , que nous dénoterons dans la suite par ri, rm, rn, en sorte que /- -f- m» -\-}i'=z\.
Les substitutions faites, on aura donc
/■/ =, [x C0S7. -h jsina) cos;3 h- z sin;3,
rm =:j"C0s« — usinât,
rn = z cos{3 — [x cosc/. + ys\nx] siii,j.
L'axe des coordonnées // est dirigé à un point de la sphère doiil la longitude est a et la latitude boréale jS; l'axe des coordonnées r/n est perpendiculaire au précédent dans le |)lan de l'écliptique et du côté de l'orient, de sorte que cet axe fait avec la ligne de l'équinoxe du prin- Icnips un angle = 90°+ a; enfin l'axe des coordonnées rn csl perpendiculaire à ces deux-là dans l'hémisphère boréal, par conséquent cet axe est dans le plan du cercle de latitude ,3.
9. Les formules précédentes sont pour le lieu vrai de l'aslre; on aura de même pour son lieu apparent ('4)
;■'/' = (x'cosa + j' sina) cos[3 -t- s'sinp,
r'm'=/'cosa — a;' sina,
r'n' = z' cos^ — (^'coss: -I- j-'sina) sinp;
mettant pour x', y', z' leurs valeurs x — ç, y—n< '■ — Ç (numéro cité), et faisant, pour abréger,
(^cosa -H yj sina) cos{3 + Çsin;3 ^
T, ces a — H sina ^ y..
ÇcoS|3 — ) ^cosa -I- n sinal sinjB
7? étant le sinus de la plus grande parallaxe de hauteur de l'astre (3),
on aura
r'I' =r[l -roX),
r'n' = ri n — nrv).
Ce sont les valeurs des trois coordonnées rectangles du lieu apparent de l'astre, rapportées aux mêmes axes que les coordonnées ri, rm, m du lieu vrai.
Or, comme r' est (hypothèse) la distance du lieu apparent au centre de la sphère, qui est en même temps l'origine des coordonnées, on aura
De plus, à cause de ^" -h- -/j' -h Ç° = /5^ (6), il est visible qu'on aura aussi
10. De là il s'ensuit d'abord qu'en ajoutant ensemble les carrés des
42i SUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES
Li| nations précédentes et extrayant la racine carrée, on aura
^1 — ■iTjs(t\ -h nifj. -\- nv) + uj'.
ce qui sert à déterminer la distance apparente de l'astre par sa distance! vraie.
11. Pour avoir maintenant les valeurs de /, m, n en longitudes et latitudes, il n'y aura qu'à substituer dans les formules du u" 8, pour x, y, z leurs valeurs (2), et, divisant par r, on aura
/ = cos(« — ajcosi cosp -I- sin/> sin[3,
m:= sin(a — x) cosb,
n ^sin6cosj3 — cos(fl — a)cos6sin|3,
et l'on aura /- + m- + «- = i , comme cela doit être.
Quant aux valeurs de X, ij., v, on les trouvera par la substitution de celles de ?, r,, Ç du n'' 6 dans les expressions ci-dessus, el il viendra
À = (cosS COS9 cosa -+- sin9 C0S9 cosw sin« -t- sin9 sinco sina) cos(3 -h- (sinocoso) — sinO cos<p sinw) sinp,
fj.:^ sinO ces 9 cosw ces a -f- sin9sinc.) cosa — cosO ces 9 sina,
V = (sino cosw — sinO COS9 sinoo) cos(3
— (cos6 C0S9 cosa + sinO C0S9 cosm sina -h sin9 sinw sina) sin(3.
12. Cela posé, imaginons un plan qui toncbe la sphère céleste, dont je suppose le rayon = i, au point aucjnel se dirige le premier axe des coordonnées, c'est-à-dire l'axe des abscisses //, et dont la longitude est a, la latitude |3, el supposons que du centi'c de la sphère on projette sur ce plan les lieux tant vrais (|u'apparenls des astres, comme aussi les dilTérents cercles de la sphère; il est clair (jue les lieux ainsi projetés seront dans les points d'intersection des rayons menés vers les lieux des astres avec le plan proposé, et (|ue tous les grands cercles de la sphère seront l'cprésentés sur le plan de projection par <lcs lignes
SUJETTES AUX PAKALLAXES. 425
droites, forméos pai' l'intersection des différents plans de ces cercles avec le plan dont il s'agit.
SoitC le point où le plan de projection touche la sphère; qu'on mène par ce point deux droites ED, FH perpendiculaires entre elles, et dont
la première représente le cercle de latitude qui passe par le point C, et la seconde représente le grand cercle qui coupe celui-là perpendiculairement dans le même point C. Il est facile de concevoir que toutes les droites perpendiculaires à ED représenteront de même des grands cercles perpendiculaires au cercle de latitude, et que de même toutes les droites perpendiculaires à FG représenteront des grands cercles perpendiculaires au grand cercle représenté par FG. Enfin il est visible que toute droite telle que PR, menée par le point C, représentera un grand cercle faisant avec le cercle de latitude un angle égal à l'angle PCE des deux droites PC, CE.
Soit maintenant P le lieu de l'astre projeté sur le plan dont il s'agit. et soit abaissée de P sur CF la perpendiculaire PF; il est clair que, si celte planète se trouvait justement dans le plan de projection dont la distance au centre de la sphère est supposée = i, on aurait pour les trois coordonnées rectangles du lieu de la planète les (juantités i, {]F,
Vil, 54
1"P, puisque l'axe des abscisses est supposé passer par le point C, peipcndicuhiirenient au plan de projection, et que les deux autres axes sont (hypothèse) parallèles aux lignes FH, DE. Si la planète est hors du plan de projection, mais cependant sur le même rayon qui passe par le point Pde ce plan, alors il est visible que ces coordonnées seront plus ou moins grandes, suivant que la planète sera plus ou moins éloignée du centre de la sphère que n'est le point P; mais elles conserveront toujours le même rapport entre elles. Ainsi, prenant une quantité indéterminée h, ces coordonnées seront h, h x CF, h x FP. Mais les coordonnées du lieu vrai de la planète sont //, rm, rn (8); donc
Il =z ri, h X CE =: rm, li X FP = rn ; donc
CF=Ç, FP='i.
13. Nommons maintenant CF, /> et PF, q; les deux quantités/; et q seront donc l'ahscisse et l'ordonnée du lieu P de la planète dans le plan (le |)r()jecli()n, et l'on aura
Pour avoir mainteuanl i(^ lieu apparent P' de la même planète dans le plan de projection, il n'y aura qu'à mar(|uor les lellres précédentes
d'un Irait, et l'on aura
oiip' sera l'abscisse CF', et q' l'ordonnée F' P'. 'Substituant à la place de /', m', n' leurs valeurs tirées des formules du n" 9, on aura donc
/ — m'f. l — mX
Ainsi l'un pourra déterminer par ces (ormulcs la position des lieux vrais et apparents d'un astre quelconque sur b; plan de projection. Il ne reste plus (ju'à voir comment on pourra déduire de ces positions les distances angulaiies des astres vus du centre de la sphère.
14. Et d'abord il est clair que, conime les lieux des astres dans le plan de projection sont aux mêmes points où ce plan est traversé par les rayons menés du centre de la sphère aux mêmes astres, les distances angulaires de ces astres vus du centre de la sphère seront les mêmes que si les astres étaient réellement placés dans le plan de projection. De sorte qu'à cet égard on peut regarder les lieux projetés comme les véritables lieux des astres.
Cela posé, supposons en premier lieu que l'un des astres dont on cherche la distance angulaire soit au point C, et l'autre au point P; il est visible que la distance rectiligne PC de ces astres sera la tangente de la distance angulaire cherchée, puisque le centre de la sphère répond perpendiculairement au point C du plan de projection. De plus, l'arc de grand cercle qui joint les deux astres fera avec la pailie boréale du cercle de latitude du premier astre un angle égal à PCE.
Soit S la distance angulaire des deux astres, et 7 l'angle de l'arc qui joint ces astres avec le cercle de latitude du premier astre C; on aura
tangos v7'=-t-fy% langy = ^
Donc, si l'on veut rapporter au même astre C le lieu apparent P' de l'autre astre, et qu'on désigne par 5' et •/ les angles analogues à ô et 7, on aura de même
tango' = \lp" H- </'% langy'= ^, •
Si l'on substitue à la place de /^ q et de//, c/' leurs valeurs (numéro précédent), on aura
lango =; -î 1 li>ngy =
tanga'= i^ V^ ^ -■, lang-/= — ••
Par ces formules on aura donc la posilion des lieux vrais et appaienls de l'astre P, dont la longitude est a et la latitude h, par rapport au lieu vrai de l'astre C, dont la longitude est a et la latitude j'i.
Ces formules pourront donc être d'usage lorsque la parallaxe de l'astre C sera nulle, eomme cela a lieu pour les étoiles fixes, ou du moios lorsqu'elle sera si petite qu'on croira pouvoir la négliger: c'est le cas du Soleil dans un grand nombre d'occasions. Mais, quand on voudra tenir compte également des parallaxes des deux astres, il faudra chercher leur distance angulaire sans supposer que l'un d'eux soit ;iu point C. C'est ce que nous allons faire dans le numéro suivant.
15. Soient donc deux astres P et Q, dont on cherclie la dislance angulaire vue du centre de la sphère.
Soient pour le premier de ces asti'cs l'abscisse CF = /^ l'ordonnée FP = (/, comme plus haut; et pour le second, soient de même l'abscisse (;G = P, l'ordonnée GQ = Q; on aura la dislance (;P = y/>- -i- ^'- , la distance CQ = \W-i- Q- et la distance PQ = \'{P—p)- -+- (Q — g}'' Or l'angle que l'on cherche est celui qui est formé au centre de la sphère par les deux rayons menés de ce centre aux points P et Q, et il est
visible que ces rayons sont y i -i- PC et V1-+-CQ , c'est-ii-dire v'i-H/^' + y* et v/i + P-+*Q'.
L'angle dont il s'agit est donc celui qui est compris entre les deux côtés \^i -h p^ -h (/- et \/i + P--l-Q'^ d'un triangle réctiligne dont le troisième côté est PQ ou v(P ~/'j" + (Q ~ y)"- Donc, nommant 2 cet angle, on aura, par la propriété connue des triangles rectiligues,
c'esl-ii-dire
d'oii l'on tire
-h V= -h Q' -h i + p' -i- g' — {P — pY — {Q — qV 2 V iH- P' -1- Q» v'i + p' + (]■
^ 1+ Pp-hQq
si„2 = v^(i + P--+ Ki-][x+p' + q^) -[^ + Vp+QqY v/i -H P-+-QV' -+-/'' + <?'
Or la quantité qui est sous le signe, dans le numérateur de cette formule, se réduit facilement à (? — /?/■ + (Q — q j' <- (Py — Q/^j-rdonc,
divisant le sinus par le cosinus, on aura
\/(f-p)'+(Q-g)'+(P'?-Qp)'.
'*^"°-'- i + Pp-^Qq
c'est la tangente de la distance angulaire des deux astres vus du centre de la sphère.
Cette distance est Ja distance vraie, parce que les quantités /j, g, P, Q sont censées appartenir aux lieux vrais des astres; pour avoir la distance apparente des mêmes astres, que je désignerai par 1', il n'y aura qu'à marquer toutes les lettres d'un trait, ce qui donnera
,an^V'=, y P-p'i-+iQ'-g'j'+ifY-Qy ^ °" n-Py+Q'7'
A l'égard des quantités P, Q, P', Q', on les déterminera par des formules semblables à celles qui expriment les quantités/;, y.//, g' 13 . Pour cela, on désignera par A la longitude et par B la latitude de l'astre Q, et par L, M, N ce que deviennent les quantités /, m, n du n° 11, en y changeant a en A et b en B; on aura sur-le-champ
P = y, Q = T-; ensuite, nommant FI le sinus de la plus grande paral-
1 II 11! /-^ T^' ^1 — Ha „, N — IIv ,
laxe de hauteur de 1 astre Q, on aura P = , „' ? Q = , „-> les
quantités )., u., v demeurant les mêmes pour les deux astres, puisqu'elles sont indépendantes des angles a et h.
16. On peut représenter la valeur de langlî d'une manière assez simple, par le moyen des lignes PC, QC, PQ et de l'angle PCQ; car on a d'abord (P — p- ^- (Q — y;- = PQ ; ensuite, nommant, comme plus haut, l'angle PCE, y, et pareillement l'angle QCE, Y, on aura
;, = CPXsiny, 9=CPxcos-/, P^CQxsinU, Qr^COXcosU;
donc
P,y - qp = CP X CQ X sin ^T — y) — - CP X CQ X sinPCQ,
et
• P/; -i- Q</ = CP X CQ X ces ,r - y) — CP X CQ X cosPCQ.
430 SUR LE CALCUL DES ÉCLll'SES
DdiK'. faisaiil ces substilulioiis, on aura
^, v/pq' + CP ' X CQ' X sin'PCQ laiig ^ ^ ^.^, ^ ^^j ^ cosPCg
De niènu', si P' et Q' sont les lieux apparents des astres P et Q, on
aura
S/VQ"' -h ¥C X Wc' X sin' P' CQ' lang2 , + !>' c X Q' C X cos P' C y
17. Les formules précédentes ont lieu généralement, quelles (jue soient les positions des astres P et Q; mais, si l'on suppose que l'astre Q tombe au point C, alors il est visible qu'on aura P r= o, Q = o; donc iM = o, N = o; et, comme L- -f- M'- -+- N' — i (bypothèse) , on aura L = ! ; c'est aussi ce qu'on peut trouver, d'après les valeurs de L, M, N. en y faisant A = a , B ==; |5. On aura donc dans ce cas tang2 = \'p- -+- g- , ce qui s'accorde avec les résultais du n*" 14, où § est la même chose que 1 dans le cas présent, c'est-à-dire, la distance angulaire des deux astres Cet P. Mais la distance apparente 1' ne sera plus la même que la distance apparente ô' du numéro cité, pour laquelle on a la formule tango" — \p- H- q'-; car ici P' et Q' ne seront pas nuls, mais auront les valeurs suivantes
(|ui sont, comme l'on voit, l'effet de la parallaxe de l'astre Q ou ('., qu'on avait supposée nulle dans le cas du numéro cité.
18. Au reste, si l'on voulait aussi connaître l'angle que la ligne PQ fait avec CE, il est clair qu'en nommant g cet angle, on aurait (* j
GC - FC P - p
(') L'angle que les deux lignes CG el PQ forment entre elles n'est égal, comme M. lienry la remart|ué, a celui qui est compris entre le cercle de latitude du point C et le grand cerck' qui joint les lieux vrais des deux astres, que dans le seul cas où l'un deux se trouve réellement au point C; ceci, au demeurant, n'a aucune influence sur la suite du Mémoire.
et cet angle r: sera celui que le grand cercle passant par les lieux vrais des deux astres fera avec le cercle de latitude passant par le point C, dont la longitude est a et la latitude p.
Donc aussi, désignant par a' l'angle du grand cercle qui passe par les lieux apparents avec le même cercle de latitude, on aura
x\rticle II. — Simplification des /annules précédentes, Ct manière de facditer le calcul de ces formules par le moyen de quelqucM • Tables.
19. Nous venons de résoudre le Problème des distances apparentes des astres, par une méthode qui joint à la plus grande généralité toute l'exactitude et la simplicité dont la matière est susceptible. Mais, comme dans cette méthode on a supposé que la posrtion du plan de projection était arbitraire, celte position dépendant uniquement des angles indéterminés a et j3, dont le premier représente la longitude, et le second la latitude du point de la sphère auquel le plan de projection est supposé tangent, il est visible qu'on pourra rendre la solution du Problème encore plus simple, en déterminant convenablement la valeur des angles dont il s'agit, ce qui n'apportera d'ailleurs aucune restriction ni à la généralité ni à l'exactitude de cetle solution : c'est ce que nous allons examiner.
On a trouvé en général, pour la détermination de la dislance apparente 1', la formule rigoureuse
tang^ - , V 1
?'p'+Klq'
ilans laquelle
m — mu.
, n —vav
M - nu
