V-8 NOl VELLE MÉTHODE

or ci's équations se iliangt-nt en celles-ci

l h HJ -t- -

savoii', en l'aisanl - = t, — = u,

// -t- m -h nu

pt -{- q -h ru

Qu'on suppose de plus

on aura

et. faisant celle substitution dans les équations préeédenles, elles |)ren-

dront cette forme

l'I -+- m' -+- II' z '= 7^ '

la première donne sur-le-clianip

et, celte valeur étant substituée dans la seconde, on aura cette équation finale en z,

POUR DETERMINER LORBITE DES COMETES. iT!>

laquelle, étant développée et ordonnée par rapport à z, montera au septième degré, et aura par conséquent toujours au moins une racine réelle.

12. Il ne sera pas difficile de résoudre par approximation l'équation (jue nous venons de trouver, et pour cela il vaudra encore mieux employer les deux équations

on donnera successivement à z différentes valeurs, et l'on calculera

celles de l et des deux quantités P7 -+- Q'+ R';;, — ^^^ — ; si l'on

trouve deux valeurs de ;, dont l'une rende la seconde de ces quantités plus grande que le carré de la première, et dont l'autre la rende plus petite, on sera assuré que la vraie valeur de :; tombe entre ces deux-là, et l'on pourra ensuite, par d'autres substitutions, approclier davantage de cette valeur. Si l'on ne pouvait pas rencontrer deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires, il n'y aurait alors qu'à opérer suivant les règles que j'ai données dans mon ^lémoire sur la résolution des équations numériques [Mémoires de 1767), et par lesquelles on est toujours sûr de découvrir et de déterminer aussi exactement que l'on veut toutes les racines réelles d'une équation quelconque.

Ayant trouvé une valeur convenable de z, on aura celles de t et de u.

ensuite celles de x = - et de )'= ~i enfin celles de u et 5, oui feront

connaître d'abord la position de l'orbite (3), et l'on connaîtra aussi en même temps la valeur du paramètre zs au moyen de réqualion

— = lu.

13. Connaissant a et /3, on connaitra, si l'on veut, la distance 0 de la comète à la Terre, ainsi que les coordonnées x, y, z du lieu de la co-

p. =; e I cosy COS&J + V = £ (siny cosw —

'j8o nolvellk Méthode

iiii'U> dans son oïliitc, pour cliacunc di-s six obsorvalions, au moyen des formules du n" ï; on connaîtra donc aussi le rayon vecteur de la comète, (|ue je désignerai par r, et qui est = \a;- -f- j" 4- :;-.

Or l'éijuation d'une section coniciue ([uelconciue rapportée au foyer

est

ro — f =: jj.x -h 'jy,

dans laquelle tz est le demi-paramètre, et p., v sont deux constantes telles que, si l'on nomme e rexcentricité et w l'anomalie (|ui répond au nœud ascendant, c'est-à-dire la distance du nieud au périhélie de l'ur-

hite, on a

sinysinw'

CCS 7)

rosy siti w

CUSï5

Je ne donne point la démonstration de ces formules, parce qu'elle me mènerait trop loin, et qu'il n'est pas d'ailleurs didicile de la trouver, d'aprt'S les propriétés connues des sections coniques.

Substituant donc dans l'équation t^^ — e = ^j? -+- vy les valeurs de x, V et (', (|ui répondent à deux observations quelconques, comme à la première et à la dernière, pour les prendre le plus éloignées qu'il est possible, on aura deux équations, au moyen desquelles on déterminera sur-le-cbamp les valeurs de (7. et de v, puisque celle de v; est déjà connue.

Ayant les valeurs de a et de v, on connaîtra l'angle oj par l'équation

cosy cosï) -h sihy tangw jj.

siny cost; — cosy laiigto v

l'I l'excentricité £ par l'équation

VfA'-f-V

^séc'v! — laiig'yj cos'w les angles /, et y étant connus par le moyen des quantités a el f:i (3).

POl K DÉTERMINER LES ORBITES DES COMÈTES. 481

Si l'orbile est p;iral)oliqiie, ou à Iri's-pcii près, la valeur de t sera exactement, ou à très-peu près, égale à l'unité; sinon on aura

/ étant la distance moyenne ou le demi-grand axe de l'orbite.

Enfin, y étant la longitude du nœud ascendant, et (•> la dislance du nœud au périhélie, on aura y — w pour la longitude du périhélie.

li. Maintenant, si l'on nomme ô le mouvement moyen du Soleil pendant le temps écoulé entre le passage de la comète par le périhélie et une quelconque des observations, dans laquelle le rayon vecteur de la comète soit = v, on aura, en prenant la distance moyenne du Soleil pour l'unité, et faisant, pour abréger,

COSO) = 1

on aura, dis-je, par les formules connues,

6^(9 — £ sincp) ijl',

où ç sera en même temps ee qu'on nomme, d'après Kepler, l'anomalie excentrique.

Et lorsque le demi-grand axe ), sera fort grand, ainsi que cela a lieu dans l'orbite des comètes, on aura, par les séries.

en faisant