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On peut procéder de la manière suivante : on divise chacun des 2 gâteaux en tiers, on a alors 6 tiers de gâteau ; au 1er garçon on donne 74 du 1er gâteau ; au 2ème garçon on donne le % qui reste du 1er gâteau, et un tiers du second gâteau ; au 3ème garçon on donne ce qui reste du second gâteau, c’est-à-dire les 74.

Premier gâteau | Deuxième gâteau | A) 1

{ Î B 7 ul |

11 est évident que le garçon qui a eu les 4 du rer gâteau n’a eu ni plus ni moins que celui qui a et: % du 1eret % du second. Il est évident aussi que le garçon qui a eu les 74 du second gateau n’a eu ni plus ni moins que celui qui a eu le 4 du second et le } du premier.

{ 34 d’un ei

1er gât.

BE __ 2me gât.

Le # de 2 gat. !

Donc le + de 2 est égal aux 74 de 1.

Donc la fraction 7; est une :‘antité 3 fois plus petite que la quantité 2.

Q. Analysez 58? R. 58 c’est 184 de 5, c'est une quantité 8 fois plus petite que 5. Exigez la démonsation avec des lignes, etc., etc.

RESUMÉ.

tient du nu

viseur, correspond au quotient.

division du numérateur ominateur ou diviseur 4.

34 de fois ; 34 c’est le quotient,

Une fraction étant une division terminée, il] s'ensuit que les principes relatifs À la division sont applicables aussi au fractions, et servent à expliquer toute la théorie de la multiplication et de la division de ces fractions.

Applications des principes de la division aux divers cas de multiplication et de division des fractions,

PREMIER CAS.—Multiplication d’une fraction par un entier, (Cecas a dép Ëté expliqué à ’une autre manière),

À multiplier 34 Par 2. Le numérateur 3 c’est le dividende ; le dénominateur 8, c’est le diviseur ; la fraction entière 3%, le quotient. Multiplier le numérateur 3 par 2, c’est multiplier Je dividende Par 2 et conséquemment c’est multiplier par le même nombre le quotient, qui, dans ce cas, est Ja fraction 34

Solution 4 x 2 — = 4.

Autreme:: -Diviser le dénominateur 8 Par 2, c'est divise, diviseur par 2 et Conséquemment c'est multiplier le quotient, c’est-à-dire la fraction 36, par 2.

DEUXIÈME CAs.—Multiplication d’un entier par une fraction. La règle qu’on vient de donner suffit pour résoudre ce cas, Car, On peut intervertir l’ordre et prendre le multiplicande pour multiplicateur sans que le résultat final en soit modifié; il est cependant très à propos de l'expliquer avant d’expliquer le troisième cas. Soit à multiplier 8 par 74. 24 étant le x de 2; il s'agit donc de trouver le 4 de 2 fois 8: le 4 de 16, c'est-à-dire, ÿ — 54. Ou autrement, 24 étant une quantité 3 fois plus petite que deux, en multipliant 8 par 2, on multiplie par un nombre 3 fois trop grand ; donc le produit 16 est 3 fois trop grand ; en le divisant par 3 on treuve mule produit demandé.

Muitiplier 8 par 74 c’est prendre les 4 de 8.

Soit à multiplier 20 par 34. Il faut prendre }{ de 3 fois 20, ou, ce qui revient à la même chose, !{ de 20

fois 3. Mais !{ de 20 = 5: Et 5 fois 3= 15.

Règle : pour multiplier un entier par une fraction, on multiplie l'entier par le numérateur. Au lieu de multiplier l’entier par le numérateur, on peut aussi, quand cela est possible, diviser l’entier par le dénominateur, puis multiplier le quotient par le numérateur.

TROISIÈME CAs.—Multiplication d'une fraction par une fraction. Soit à multiplier 74 par $.

11 s'agit de inultiplier 4 par le 1 de 4, c’est-à-dire par une quantité 5 fois plus petite que 4. En multipliant le numérateur 2 par 4, on a 5, un produit 5 fois trop grand ; en multipliant le dénominateur 3 par 5, Où divise le produit $ par set on a #, la réponse demandée.

Règle: Pour multiplier une fraction par une fraction on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; en d’autres termes, on multiplie le multiplicande par le numérateur du multiplicateur et on divise le produit par le dénominateur du multiplicateur.

Autre exemple. —Soit À multiplier ;} par &.

Il s’agit de multiplier % par ; de 3 Par un nombre 5 fois plus petit que 3. En divisant le dénominateur 12 par 3, on multiplie ?, par 3 et on a 3 un produit 5 fois trop grand ; en multipliant le dénominateur 4 par 5, on divise le produit par 5; on a æ la réponse demandée.

2 X à équivaut à prendre les ÿ de ?,

QUATRIÈME CAS.—Division d’une fraction par un entier, (c cas a déjà été expliqué d'une autre manière). Soit à diviser 5 par 2. Le numérateur est le dividende ; la fraction, le quotient. Diviser le numérateur 4 par 2, divise le dividende et par conséquent divise le quotient, c’est-à-dire la fraction. Rép. ? Autrement.—Muitiplier le dénominateur 5 par 2, c’est multiplier le diviseur et Conséquemment, c’est diviser le quotient, c’est-à. dire la fraction © X2= à = ë Rép.

CINQUIÈME CAS.— Division d’un entier par une fraction. Soit à diviser 2 par 34. Le diviseur H4 est une quantité 4 fois plus petite que 3 Sion divise 2 par 3 on aura 8 ; puisque en divisant par 3 on divise par une quantité 4 fois trop grande, le quotient 3 sera 4 fois trop Petit ; il faudra donc le multiplier par 4 pour avoir $ le quotient cherché Ainsi diviser 2 par 34 équivaut à multiplier 2 par #

Règle :—Pour diviser un entier par une fraction, on multiplie l’entier par la fraction renversée,

RE

SIXIÈME cAs.—Division d’une fraction par une fraction. Soit à diviser 36 par£. Le diviseur 3 est 5 fois plus petit que 2. Je divise la fraction 36 par 2, en multipliant le dénominateur par ce nombre, ce qui me donne ÿ, quotient 5 fois trop petit, parce que j'ai divisé par un nombre 5 fois trop grand ; multipliant cette fraction à par 5 je trouve 3 le quotient cherché. Ainsi diviser 34 par ? équivaut à multiplier 36 par 5.

Règle :—Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la fraction dividende, par la fraction diviseur renversée.

Dans cet exposé rapide des fractions et des opérations auxquelles elles donnent lieu, nous avons insisté sur un point de première importance, qui est très généralement négligé, —-la théorie de la multi-

plication et de la division des fractions. Trop souvent on se contente de faire appliquer les différentes règles qui ont trait à ces opérations, sans un mot d'explication. On perd ainsi une excellente occasion de cultiver l'intelligence en même temps qu’on instruit l'élève dans l'art de l’arithmétique.

En resumé, l’arithmétique au cours élémentaire comprend deux parties : (a) la numération, les quatre règles simples, les nombres premiers et les . smbres divisibles ; (à) les fractions.

Avec les commençants, l'enseignement doit être intuitif avant d’être abstrait. Il faut aller du connu à l'inconnu, du concret à l’abstrait, du particulier au général. Il faut que l'élève découvre la règle avant de l’apprendre ; qu’il soit capable non seulement de l'appliquer, mais aussi de l'expliquer.