FRACTIONS DÉCIMALES
Les décimales peuvent être exposées : 4, intuitivement, comme les fractions ordinaires : & d’une manière abstraite en les faisant découler de notre système de numération.
envelopper, possible, de Carrés.
Mote. Si vous employez des couleurs différentes pour les verticales et les horizontales, VOUS aurez un tableau plus voyant.
COMMENT SE SERVIR DU TABLEAU.—Montrant la première bande verticale et en même temps le grand carré ; dites : cette bande est quelle partie du carré ? R.;% Dites 1 s'écrit aussi.1: Puis écrivez D=.I
Montrant deux bandes et tout le carré : ©, Ces deux bandes sont quelle fraction du carré ? KR Dites }, s'écrivent aussi +2. Puis écrivez 2, —.2,— Ainsi de suite POUT .3. .4. .5. .6. .7. .8. .0.
Q. Toutes les fractions ont pour d i
Une fraction don appelée fraction décimale,
Le mot Ymal vient du mot latin decimus qui veut dire dixième.
Q. Comment représente-t-on une fraction dont le déuominateur est 10 sans écrire le dénominateur. R. En n’écrivant que le numérateur précédé d'un point. Dites : écrivez sur vos ardoises les fractions
ordinaires, 5, à 1 etc., et les décimales qui y correspondent.
Montrant le premier petit carré à gauche. Q.
Combien de carrés comme celui-ci dans le grand carré ? R. 100. Q. Ce petit carré est quelle fraction du grand? R. 1% Dites, 50 s'écrit aussi .or. Puis écrivez 19 —.01. Montrant deux petits catrés. Ces deux retits carrés sont quelle fraction du grand ? R. y Dites à, s'écrivent aussi .02. Alors écrivez 1% —.02 aiusi de suite .03, 04, -05, .06, .07, .08, .09.
—Q. Quel est le dénominateur de .o1, .02, .03, .04, etc. R. 100 ou 10 fois 10. Dites : une fraction dont le dénominateuriest 10 fois 10, (100) est appelée fraction décimale.
Montrant tous les carrés d’une bande. Q. Combien de centièmes? R. !". Dites : }, s’écrivent aussi .10.—Montrant la bande entière. Q. Quelle
fraction du grand carré? R. ÿ ou .1.—Montrant la bande entière. Q. .1r égale donc combien de centièmes? R. Dix. Donc.r ef .10 ont la même vaieur. Ainsi de suite pour 2 bandes ou .2 et 20 petits carrés ou .20, etc., etc.
En quoi transforme-t-on ies dixièmes, si on les fait suivre d'un zéro? R. En centièmes. Q. Laquelle des fractions .3, .30 a le plus de valeur ? R. Les deux ont la même valeur. Exigez que les élèves le pronvent au moyen du tableau décimal.
Montrant la 1ère bande et un carré de la 2e. Q. Combien de petits carrés? R. 11. Q. Chaque petit carré est quelle fraction du tout? R..ot. Q. 11 petits carrés sont quelles fraction du tout? R.— e11.—Montrant la 1ère bande. Q. Quelle fraction dutout? R.—.1. Montrant le petit carré sur la 2e bande. Q. Quelle fraction du tout ? Q.—.o1.—Montrant la bande et le petit carré. Q. Quelle fraction
nn 2
+ en 1m 1m
du tout? R.—rr. Q. Ainsi dans .1r il y a combien de dixièmes? R. Il y a un dixième (1). Q. Ce.r vaut combien de centièmes? R, 10. Q. Dans .r1 qu’y a-t-il de plus que.1? R.]I1 ya.ol. ©. Ainsi la somme de .1 et .o1 est de .17.
Ainsi de suite pour 1 bande et 2 petit carrés — -12, etc., etc.—1 bande et 10 petits carrés = .2 — aussi 20 petits carrés — -20—Q. Donc .2 — combien de centièmes? R. 20.
Questions analogues au sujet de 2 bandes et r petit carré.—.21, c’est-à-dire .2 et .or etc., etc.—2 bandes et 10 petits carrés, =, 30 —.3,—ainsi jusqu’à 9 bandes et 9 petits carrés.
Lorsque les élèves ont analysé les dixièmes et les centièmes intuitivement, dérobez le tableau à leur vue et faites-leur les questions suivantes dont-ils ne
devront écrire que les réponses sur leurs ardoises :
Q. 7 bandes, quelle fraction du tout ? R.—.7. Q. x petit carré quelle fraction du tout? R..o1r:
Q: 18 petits carrés quelle fraction du tout? R.—r et .08 ou .18. etc., etc.
Faites lire par les élèves :
Q.—.2 du tout sont? R.— 2 bandes
Q.—.4. & « & « 4 « etc reic.
Q.—.or du tout est? R.—r petit carré
Q,—o7 sont? R.—7 petits carrés.
Q—.18 “ 2? 1 bande et 8 petits car-
; rés ou 18 petits carrés.
Q.—.42 du tout sont? R.—4 bandes 2 petits carrés où 42 petits carrés.
Les millièmes.— Divisez un des petits carrés par des verticales en dix tranches). Montrant le petit carré divisé en tranches. Q. Combien de tranches ? R.—10. Q. Combien y aura-t-il de tranches dans 2 petits carrés? R.—20. ©. Dans trois? R.—30. Q. Dans 10 ou dans une bande ? K.—100. Q. Dans 10 bandes ou dans le grand carré? R.—1000. Q. Une tranche est donc quelle fraction du grand carré ? R.—Un millième qui s'écrit 199 ou encore .001. Q. Un petit carré est quelle fraction du grand? KR. 100 OU .OI.—Q. Une bande est quelle fraction du grand carré. R. ;} ou .1.
Q. 2 tranches, quelle fraction du tout? R. ,4, ou .-002,—ainsi. pour 3, 4, etc., tranches.
Q. Quel est le dénominateur des fractions, .001» «002, .003, etc. R.—1000 ou 10 fois 10 fois 10.
Dites: Les fractions .oo1, 002, 003, sont appelées des décimales,
Définition. — Une fraction décimale est celle dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. ou dont le dénominateur est 1 suivi d’un ou de plusieurs Zéros.
Q. Une tranche est quelle fraction du grand carré? R.—.oo1. Q. Deux tranches? R..002,etc., etc. Dix tranches? R.—.or9. Montrant le petit carré. €). Quelle fraction du tout? R.,} = .o1. Q. Dass le petit carré combien de tranches, combien de mullièmes ? R.—10 tranches, c'est-à-dire Mo —.010. Dites : donc .01 — .010.
Dites: écrivez sur vos ardoises, .010, .020, etc., avec le moims de chiffres possible. R. .o1, .02, etc.
Q- Si on ajoute zéro à la droite de .or, quel effet cels produit-il sur cette fraction? KR. Si on ajoute
zéro à la droite de “OI, (150) on transforme cette fraction en .o10 (3%), mais on n’ajoute rien à sa valeur, car ## petit carré .or est l'équivalent de dix tranches c'est-à-dire .010 AS
Montrant un petit carré et une tranche. Q. Le petit carré, combien de millièmes du grand carré ? R. .010,—et la tranche ? R. .oor,—et les deux ensemble ? R..o11.—Ainsi de suite Pour .or2,.013, etc., jusqu'à r carré et 10 tranches ou 2 carrés c’est-à-dire .020. Puis 2 carrés et une tranche, 020 et .001 ; ensemble ,021. Ainsi jusqu’à 9 carrés et 9 tranche— ? R. 699. Puis 9 carrés et 10 tranches OU 10 carrés = ? KR. 100 où .10 ou.r. Car les 10 carrés forment une bande qui = À}, — -1,—Chaque petit carré = ,1, — -OT, les 10 — 10,—chaque tranhe=,},— .-001,;—dans une bande il y a 100 tranches — 2%, — 100 Donc il n’y a pas de diffé. rence entre les valeurs de 2,10, .200;
Conséquence. On peut ajouter un ou plusieurs zéros à la droite d’une fraction décimale sans en changer la valeur.
Montrant une bande et une tranche, —la bande combien de millièmes du grand carré ? R. r00,—et la tranche? R. -001,—la bande et la tranche ensemble? R..ror. Ainsi de suite.
Les élèves ont une idée intuitive des décimales et de la manière de les écrire. Le moment est arrivé de généraliser, de leur faire trouver que ces fractions ne sont qu'une conséquence de notre numération.
La convention fondamentale sur laquelle repose toute la numération est : r. qu'une unité d'un ordre quelconque vaut un dixième de l'unité de
l’ordre immédiatement supérieur. 2. qu'une unité d'un ordre quelconque vaut dix unités de l'ordre immédiatement inférieur. C'est cette convention dont les élèves doivent avoir déjà une notion bien définie, acquise pendant leurs trois premières années d'école, qu’il s'agit de les amener à énoncer dans leurs propres termes.
Ecrivez au tableau les nombres suivants et faites constater que : se... 1008000 ce nombre est ;}; du nombre précédent … . 100000 « “ «e D (TJ «e PR 10000
ts LT EL de 1000 É Gaer Re 100
« ét. 2 7. 10 « « FR I
Trouvant la somme on a : IIIII1I1I.
Faites lire ce nombre de la manière ordinaire.
Puis faites décomposer en le faisant lire comme suit : 10 cent mille. 10 dix mille, 10 mille, rocent, 10 dix, 10 unités, 1
Un instant de réflexion fera comprendre que cette décroissance des nombres en allant de gauche à droite, poussée au-delà des unités, produira successivement des dixièmes, des centièmes, des millièmes, des dix millièmes comme la croissance de droite à gauche produit des dizaines, des centaines, des mille, des dizaines de mille, etc.
On aura donc :
1 dixième d'un 1 dixième d’un dixième d’un o# un centième La A LP ee
s'agi dont qu'il cent le mn Exer
1 dixième d’un dixième d’un dixième d’un ox un millième d’un. ....
etc., etc.
La somme de ces nombres est
-III pourait s xième, 1 mais dans la lecture de ces elle des entiers ou a trouvé
commode de grouper les éléments. Dans ce grou-
pement des éléments, la convention, fondamentale,
qu'une unité d'un ordre quelconque vaut dix unités
de l’ordre immédiatement inférieure, trouve son
application.
Dans .r11 le premier chiffre à droite vaut 1 millième, le 2e chiffre d’après la convention vaut dix unités de l’ordre immédiatement inférieur, c’est-àdire 10 fois un millième ou 10 millièmes, ce qui avec 1 millième font rt millièmes. Les 2 chiffres du côté droit se liront 1 1, millièmes.—L[e 3e chiffre à partir de la droite vaut dix unités de l'ordre immédiatement inférieur c’est-à-dire 10 fois 1 cen. tième ou 10 centièmes,—mais 1 centième valant 10 millièmes comme on vient de le constater, il s'ensuit que 10 centièmes vaudront 10 fois 10 mil. lièmes où 00 millièmes, ces 100 millièmes avec 11 millièmes font 111 millièmes.
