Remarque. — La formule de résolution
D 4 /P A eo mt (4) ne V2 q
fournit les deux racines lorsque le discriminant est positif à condition de prendre successivement devant le radical les deux signes (+) et (—).
Cette formule est encore applicable dans le cas où le discri-
minant £ — 4 est nul.
En effet, lorsque ee g—=o, elle devient :
LT—=— (0 rORS ere 2 2 mais, au lieu de donner deux valeurs distinctes pour x, elle n’en donne plus qu’une seule.
On peut donc dire que lorsque le discriminant est nul, les deux racines fournies par la formule (4) deviennent égales. C’est à cause de cela que l’on dit fréquemment que, dans le cas où le discriminant est nul, l’équalion (2) a ses racines égales ou encore a une racine double.
255. — Exemples. — Pour résoudre une équation du second degré on la ramènera à la forme (2)et on appli-
quera la règle du n° 253.
Exewpze |. — Soit à résoudre l'équation :
Jc1 on a : D SN g==6, PORT EAN E 4 Â 4
Le discriminant est positif. L’équation a donc deux solutions :
es t\/T AN VAE
ou :
Exewpze Il. — Soit à résoudre l'équation :
(+1) (x+2)+2rz—4x—5.
Développons; elle s'écrit :
x+r+orto+or—4{x—5.
Faisons tout passer dans le premier membre et il vient :
ti LÉ7-0:
Ici on à : p—=—1, ne donc pr ee 5 4 4 4°
Le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de racines.
Exewpze IL. — Considérons l'équation :
Divisons par 4. Elle s'écrit :
2343240. On a : DS q—° PSV SEE F0 AR AVE SO
L’équation n’a donc qu’une racine (double) ou, si l’on veut, deux racines égales :
LT
256. — Gas de l'équation ax? + bx + c—o. — Lorsque le coefficient de x? n’est pas égal à r, on ramène l’équation à la forme (2) en divisant les deux membres par a.
Appliquons ceci à l'équation générale :
fiber ax? + bxæ + c—0o.
En divisant par a elle devient :
b C CR EL y RE Pr Un LU qui a la forme (2) a + px +q—0
où on a : p—=-) PS ax
La formule de résolution (4) donne alors
b \ b2 C L=— — + a 204 AGO EE
Réduisons au même dénominateur les fractions placées sous le radical :
GRR D MN AICNe = A0€
4 a 4 4 — do?
La formule de résolution devient alors :
b Fe b? — ac
15 a Aa?
ou, puisque V4a — a, ea LE vb — re 24 24 et, enfin, — b+Vb?—4ac (5) EEE
Telle est la formule dans ce cas. On appelle toujours discriminant la quantité placée sous le radical et on arrive alors aux conclusions suivantes :
Pour résoudre l'équation générale
(1) ad? + bx + c—o, on forme d’abord le discriminant b? — 4ac :
1° Si b?— 4ac > 0, l'équation a deux racines données par la formule :
(5) — b+Vb—4ac.
He 24 4
2° Si b?— 4ac Lo, l'équation n'a pas de racines;
30 Si b?— 4ac — 0, l'équation n'a qu'une racine, dite double (ou deux racines égales) donnée par la formule (5) qui se réduit à
ru
— te À
