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ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 911 - Faisons-en la somme : il vient Ô RS) AUS EAN TX +2 — PR AU

Formons de même leur produit, nous obtenons :

nef a paf p pP Li = (+) HAVE }

Dans le second membre nous avons le produit de la

somme des deux quantités —L et VE: par leur diffé-

rence; ce produit est égal, comme nous savons (n° 52),

à la différence des carrés des deux nombres. On a

donc :

ns DNS ID ARE ES Dee 1° s'a"=(-?) ( )=£ Ai

En simplifiant, il vient :

L’ Hit En résumé, on a les deux égalités L x’ ri x'—=—p, (7) RUES — 4, qui se traduisent en langage ordinaire de la façon suivante :

Lorsque l'équation (2) X3+<px+q—=0o

a deux racines, la somme de ces racines est égale au coefficient de x changé de signe; leur produit est égal au terme constant.

Vérifions ce fait pour l'équation résolue plus haut : x2— 5 x + 6—0.

Cette équation a pour racines 2 et 3. On à bien :

2+3—5 et EE

260. — Cas où le coefficient de x? n’est pas égal à 1. — Considérons l'équation générale :

ad? + bx + c—o.

Nous la ramenons à la forme (2) en divisant par a. Elle s'écrit alors

b C n'iins Sas æ TRES, on ad a: ne a onc Ex TEE

Les relations (7) entre les coefficients et les racines prennent alors la forme :

14 LC —=— 6 prb

qui se traduisent de la façon suivante :

Lorsque l'équation

ax? + bx + c—0o a deux racines, la somme de ces racines est égale au coefficient de x changé de signe divisé par le coefficient de x°. Le produit des racines est égal au terme constant divisé par le coefficient de x.

Vérifions ceci pour l'équation ; 24?—5x+3—o

résolue plus haut. Cette équation a pour racines —et 1, et on à bien:

3 b 3 res , AP ere

2 2 261. — Cas des racines égales. — Lorsque le discriminant de l'équation est nul, les deux racines x’ et æ” sont

égales. Les relations (7) et (8) sont encore exactes.

7 de d'OS À ur Le 94 PE PE ” NT " EN, æ

Prenons alors la somme des racines. Puisque x”—#x",

on a : PCR ER SE d'où EL.

Ceci conduit à une conclusion importante.

Lorsque le discriminant d'une équation du second degré est nul, ses deux racines sont égales et égales à leur demi-somme.

Ainsi nous avons vu que le discriminant de l’équation 4x? + 124 + 9—0

est nul. Cette équation a donc deux racines égales et égales à leur demi-somme.

La somme des racines est : — T=— 3.

Î ; ; ; Dr NT Les deux racines sont donc égales à ——, c'est ce que nous avions

trouvé.

262. — Application. — Former une équation du second degré admettant pour racines deux nombres donnés. Supposons le problème résolu et soit

X+px+q—=0 l'équation cherchée. Si elle admet pour racines deux nombres donnés, p sera égal à la somme de ces deux nombres changée de signe et q sera égal à leur produit. On

connaît donc pet qg. Si æ’ et x” sont les nombres donnés on aura ainsi

p—=—(x" + x”), DC De L’équation cherchée est alors :

Elle admet bien x’ et x” comme racines, car on peut l'écrire (@- æ)(æœ—x")—0;