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il n’y a qu'à développer le produit (&—x’)(朗 x”) pour le vérifier. Sous cette forme on voit que le premier membre ne peut être nul que si l’un des deux facteurs est:-nul, c’est-à-dire si on a

soit D Dot 0 l'OL ETE soit nn A mt CR € MCE LN PAS Him à 2 Exempce. — Former l'équalion de second degré qui admet pour racines 3 et — 8.

La somme est : 3825, le produit est 3:(—8)—— 24,

L’équation cherchée est donc :

263. — PROBLÈME. — Calculer deux nombres, connaissant leur somme et leur produit.

Ces deux nombres, s'ils existent, seront racines d’une équation du second degré

x? + px +q—0

facile à former.

Car, d’après ce qui précède, p est égal à la somme changée de signe et q est égal au produit.

ExEmPLe, — Trouver deux nombres dont la somme est — — el le

F w | roduit — p É } 21

Ces deux nombres sont racines de l’équation x? + Sa RE Ca (e) 21 21 ou, en chassant le dénominateur, 21X4?+T—2—0, La formule (6) donne :

1 EVi +168 —1 +13

#4 bee 42 42

Les deux nomkres cherchés sont donc :

Pre PASS ATI0 2 HAN PART A UP NES LA ERE 42 42 3

264. — Somme des carrés des racines. — Soient æ et x” les deux racines de l'équation ax? + bx + c—0o.

On a, comme nous savons, ! FINQ LR Pre (2 POArr CERN ere ET LIT XL", d’où on tire :

æx'2 + x''2 — (de + x")? — 2 LL".

Si, dans le second membre de cette identité, nous rem-

b C plaçons æ&’ + æ"” et x'æ"” par leurs valeurs ire et z' nous

obtenons b2 C x’? x''2 = ——9az a? a ou, en réduisant au même dénominateur, b—2ac 19 Ad Eee PR TEE EE À Der ur pr Cette formule permet de calculer la somme x’? + x’? des carrés des racines sans avoir calculé ces racines.

Ainsi, la somme des carrés des racines de l'équation x —8x+13—0 est x'2+x"2—64 — 26 — 38.

PROBLÈME. — Calculer le nombre À de façon que la somme des carrés des racines de l'équation z'—6xz+)1—=0o | soit égale à 26.

D’après ce qui précède la somme des carrés est égale à b2— 2 ac

me 02-11:

16 2e PRÉCIS D'ALGÈBRE.

Ecrivons qu’elle est égale à 26 et nous avons

30— 27-20 d’où PLU ee 5°

L’équation cherchée est donc :

Les racines sont 1 et 5 dont la somme des carrés est bien 26.

265. — Signes des racines. — Les relations entre les coefficients et les racines permettent de reconnaitre d'avance les signes et les grandeurs relatives des deux racines d’une équation du second degré, sans les avoir calculees.

Considérons, en effet, l'équation ax? + bx + c—=o

et supposons b?— 4ac > 0. Soient x’ et x” les racines. On a, comme nous l'avons vu,

Fa pt a

Le seul examen de , permet déjà de reconnaître si les deux racines sont de même signe ou non.

ES] est positif, le produit des racines étant positif,

elles sont de méme signe.

22151 = est négatif, le produit des racines est négatif et

elles sont de signes contraires.

Lorsque les deux racines sont de même signe, il reste à

savoir’quel est leur signe commun; à cet effet examinons la

somme. On a :

b x’ XL == a (47

. Ja : CG Les deux racines étant de même signe (2>o);

Si ee. est posihf la somme est positive et elles sont

toutes deux positives;

Fr | À,

"SI -È est négatif la somme est négative et les deux ra-

cines sont {outes deux négatives.

Lôrsque les. deux racines sont de signes contraires

c . ; (i<e) l'examen du signe de la somme permet de recon-

naître quelle est celle qui est la plus grande en valeur absolue.

En effet, lorsqu'on fait la somme de deux nombres de signes contraires (n° 24), cette somme a le signe de celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue.

Donc, les deux racines + et x’ étant de signes con-

traires (2< o).

Si si est positif, c'est la racine positive qui est la plus grande en valeur absolue ;

SI È est négatif, c’est la racine négative qui a la plus grande valeur absolue.

3° Lorsque 0 ou c—o, l'équation du second degré

devient ax? + bx —o.

Elle s'écrit :

x (ax + b)—=0.

Pour que le premier membre soit nul il faut que l’un des deux facteurs soit nul. Ce qui donne :

soit LX=0;:

soit ax + b—o ou C———

Il y a une racine nulle; l’autre est égale à Le

Lorsque b et c sont nuls tous les deux à la fois, l’équa-

SE ON ER AT ae AUTRE

tion se réduit à x?—0o; elle a alors une racine double égale à zéro.

En résumé, pour reconnaître les signes des racines sans résoudre l'équation :

SAC 1° On examine le signe du produit .

; b 2° On examine ensuite le signe de la somme ms