Remarque importante. — Lorsque . est néga
tif on peut toujours affirmer qu'il existe deux racines de signes contrarres.
Dans ce cas, en effet, a et c sont de signes contraires, le produit ac est donc négatif; — 4ac est alors positif et le discriminant b?—4ac est la somme de deux nombres b? et —4ac, tous deux positifs, il est certainement positif. Les deux racines existent donc certainement. D'ailleurs, :puisque leur produit est négatif, elles sont de signes contraires.
De là il résulte qu'avant de former le discriminant il faudra toujours regarder d'abord si a et c ne sont pas de signes contraires.
267. — Résumé. — Les résultats précédents peuvent se résumer dans le tableau suivant :
: C On commence avant tout par regarder le signe de o
: : C ER Ac . x il n'y 4 que lorsque = est positif qu'il sera nécessaire de former b?— 4ac pour savoir s’il existe des racines.
; C | On peut aussi remarquer que, lorsque pe > o et que les
: : 2 b deux racines existent (b?— 4ac>0o), la somme pen
peut pas être nulle, car sans cela les deux racines seraient opposées, ce qui n’est pas possible puisque leur produit est positif.
TABLEAU DE DISCUSSION DE L'EXISTENCE ET DU SIGNE DES RACINES, SANS QUE L'ÉQUATION SOIT RÉSOLUE.
b RER la plus grande en valeur absolue
(a A «a est positive.
b fl T# pe — =£<o plus grande en valeur absolue | y a certainement deux a est négalive. | racines
; es b de signes contraires nr — 0 les deux racines sont opposées.
FEMMES Me > o les deux racines , L sont positives.
il y.a deux / C 1x racines. | ee < o les deux racines () sont négatives.
Il faut former e ras | à!
LIST MERE b— 4 ac—0o. I y à deux racines égales et
égales à la demi-somme — —.
P—yac<o. Il ny a pas de racines.
Il y à une racine égale à zéro. L'autre racine
. È ë b 44 est égale à BOT
ExemPe. — Soit l'équation :
On voit de suite que.c et a sont de signes contraires. moe l'équation a deux racines de signes contraires. La somme
cr era St positive. C’est donc la racine positive qui est la plus grande
en valeur absolue.
Nous voyons donc que, sans avoir résolu l’équation, sans avoir fait aucun calcul, nous savons que cette équation a deux racines dont l'une est positive et l’autre négative et que c’est la racine positive qui a la plus grande valeur absolue.
Il est aisé de se rendre compte qu’il aurait fallu ici faire un calcul très long pour voir les résultats en résolvant.
Les racines sont, en effet, approæimativement,
, 25986 25984 FLO. e ZE — 9096 9096 Elles sont en valeur absolue très voisines.
9 3. — Trinôme du second degré.
268. — Définition. — Tout polynôme réduit du second degré en x a, au plus, trois termes, à savoir : un terme en æ?, un terme en x et un terme constant. C'est donc un trinôme (n° 117).
Il est de la forme :
ad? + bx + c,
et c’est ce qu’on appelle un trinôme du second degré.
Ce trinôme est une fonction de la variable æ, que nous étudierons comme nous avons étudié, au Chapitre V, la fonction linéaire.
A cet effet, nous allons d’abord montrer qu'on peut le mettre sous diverses formes qui nous seront utiles dans la suite.
