Décomposition du trinôme. — Soit

y—= ax? + bx + c un trinôme du second degré. Mettons a en facteur dans ce trinôme; il s'écrit :

b C et à A VUE Goes y=a(a+io+t) * b “4 ou / y=a (x +a ete)

Remarquons, comme nous l'avons déjà fait plus haut,

que œ #2 Sa © sont les deux premiers termes du développement du carré de æ + de et pour avoir ce carré complet,

2 2 il faut leur ajouter (2) = a Ajoutons donc et retran- 2 4 a

, b2 | chons, pour ne rien changer, 1 dans la parenthèse. Le

trinôme s'écrit alors :

y=a (arte ot ne <)

2 La 4a a ou 1. . Ji\? bi—4ac (1) SE Le + =) |:

Nous obtenons ainsi une première forme de décomposition du trinôme qui peut aussi s'écrire :

2 4ac—b ( his) y=a[(e+) +

La quantité b?—4ac, que nous avons déjà rencontrée plus haut, est ce qu'on appelle encore le discriminant du trinôme.

Pour aller plus loin, supposons b? —- {ac positif. Dans ce cas, b?— ac peut être considéré comme le carré de V0? — ac ,et on peut écrire le trinôme y sous la nouvelle

forme :

vk GE Vo 4ac\° et) |

La quantité entre crochets apparaît ainsi comme la différence de deux carrés. On peut donc la décomposer (n° 52) en un produit d’une somme par une différence. Le trinôme s'écrit alors :

GER (ose).

ee b Ve (> an par a Posons, pour abréger,

— b?— 4ac NS b+Vb gac,

—b— VD — ac,

Ces nombres x’ et x” sont alors les racines de l’'équation du second degré obtenue en égalant à zéro le trinôme. Et le trinôme s'écrit enfin sous la dernière forme que voici :

(II) y—=a (x — x") (x — 2”),

qui n’est applicable que dans le cas où le discriminant b* — 4ac est positif.

270. — Signes du trinôme. — Les décompositions que nous venons d'effectuer vont nous permettre de résoudre aisément cette question importante :

Reconnaître, a priori, le signe de la valeur numérique que prend un trinôme du second degré pour une valeur donnée de la variable.

A cet effet, nous distinguerons trois cas, suivant le Se ,

du discriminant.

271. — Premier cas : b2—/4ac<o, — Lorsque b—4ac est négatif, 4 ac — b? est positif et la forme

(I bis) y=a((e+7) +122]

met immédiatement le signe de y en évidence.

En effet, la quantité entre crochets est une somme de deux nombres positifs dont le second n’est pas nul. Cette quantité est donc toujours positive et jamais nulle; y est toujours du signe de a. Donc :

Lorsque le discriminant est négatif, le trinôme n'est jamais nul et toujours du signe de son premier terme.

272. — Deuxième cas, b?—4ac—0o. — Dans ce cas, la forme de décomposition (I) se réduit à

b Es (a Tea

:TRINÔME DU SECOND DEGRÉ. 223 . » . 2 Le trinôme est carré parfait. Comme (2 + =) est tou-

jours positif, sauf pour la valeur x—=— e pour laquelle :

il s’annule, y est toujours du signe de a, sauf pour

Donc :

Lorsque le discriminant est nul, le trinôme est toujours du ! , b signe de son premier terme, sauf pour la valeur REA

pour laquelle il est nul.

273. — Troisième cas, b? — 4 ac > 0. — L’équation obtenue en égalant le trinôme à zéro a alors deux racines x” et x” et le trinôme se met sous la forme (II) :

Supposons, pour fixer les idées, &' > x" :

1° Si æ est plus grand que æ’, il est a fortiori plus grand que æ”’; les deux différences æ —x" et æ—x" sont positives, leur produit est positif et y est du signe de a.

2° Si æ est compris entre æ’ et æ&”, x —x" est négatif, æ —æ" est positif; leur produit est négatif, y est alors de signe contraire au signe de a.

3° Si æ est plus petit que x”, il est a fortiori plus petit que x’; les deux différences æ —x" et æ—x" sont toutes deux négatives et leur produit est positif, y est, par suite, du signe de «a. |

4° Si æ est égal à l’un des deux nombres x’ ou x”, l’une des deux différences æ — x’ ou æ —x"” est nulle et y a la valeur zéro. En résumé :

Lorsque le discriminant est positif, le trinôme a deux

racines.

Lorsque x n’est pas compris entre ces racines, le trinôme

est du signe de son premier terme.

Lorsque x est compris entre les racines, le trinôme est de signe contraire au signe du premier terme.

Lorsque x est égal à l’une des deux racines, le trinôme a la valeur zéro.

274. — Exempzes. — Le trinôme 2°+x—+ri a un discriminant négatif égal à — 3. Donc pour toute valeur de x 1l prend une valeur numérique non nulle et positive.

Le trinôme x? — 4x + 4 a un discriminant nul. Il est carré parfait car ;

Pour toute valeur de x il a une valeur positive; sauf pour x = 2 pour laquelle 1l à la valeur zéro. |

Le trinôme 2? — 8 x + 7 a un discriminant positif. L'équation

a — 8x +7 — a deux racines qui sont 7 et 1. Ce trinôme s'écrit done : 2—8x+7—(x—1)(x — 7).

Pour toute valeur de x supérieure à 7 ou inférieure à 1, il a une valeur positive. Pour toute valeur de + comprise entre 1 et 7 …ül prend une valeur négative. Enfin, pour x =1 ou x —7 il prend la valeur zéro.

Par exemple, pour æ—2 le trmôme doit avoir une valeur négative. Cette valeur est en effet

en 007 Ve met

275. Remarque importante. — De ce qui précède, il résulte que :

La valeur numérique d'un trinôme du second degré est toujours du signe de son premier terme, sauf dans le Seul cas où le trinôme a deux racines et où on donne à la variable une valeur comprise entre ces racines.

On en conclut alors que :

Si, en remplaçant dans le premier membre d'une équation du second degré X par un nombre, le résultat de substitution est de signe contraire au signe du premier terme de l’équation, on peut affirmer que l'équation a deux racines et que le nombre substitué est compris entre ces racines.

Ainsi, considérons l’équation

mn do.

Si, dans le premier membre nous faisons æ— 1, ce premier membre prend la valeur 2— 1) +12—=— 71,

Cette valeur est négative, on peut donc affirmer que l'équation a deux racines : l’une plus petite que 1, l’autre plus grande que 1.

276. Application. — Reconnaître la position d’un nombre par rapport aux racines d'une équation du second degré, sans avoir calculé ces racines.

Considérons une équation du second degré

ax? + bæ +c—0;:

et supposons que —4ac soit positif. L’équation a alors deux racines. Appelons x’ la plus grande et x” la plus petite :

De EP Désignons pour abréger par f(x) [ce qui se lit f d’xl le premier membre de l’équation :

f(æ)= a? + bæ + c.

Pour désigner la valeur numérique de ce trinôme pour une certaine valeur de æ, nous remplacerons dans f(x) la lettre æ par cette valeur. Ainsi f (1) désigne la valeur numérique de f(x) pour æ—1; f(2) sa valeur pour æ—»; el ainsi de suite.

Ceci posé, soit « un nombre quelconque. Proposonsnous de savoir quel est l’ordre de grandeur de « par rapport aux racines x’ et x” sans les avoir calculées.

A cet effet, calculons la valeur numérique f(«) du tri- HOME PEbDOUr T0.

Trois cas peuvent se présenter.

S1 af (a) > 0, d’après les résultats du n° 273, « n’est pas compris entre les racines.

S1 af (x) < 0 (n° 273), « est compris entre les racines :

Die 0:

BouRLET. — PRÉC. D’ALGÈBRE, 15

EE dde M

Si f(«) —=0, « est égal à l’une des deux racines eton a

fa (44

soit dette soit a == TU

Lorsque af(x) >0o, on sait seulement que « n’est pas compris entre les racines. Il reste encore à distinguer si « est plus grand que la plus grande ou plus petit que la plus petite.

Pour cela, remarquons que la demi-somme des racines

a PELLE

est un nombre certainement compris entre æ&’ et x”: AL —— LA.

: b on comparera donc « à To

AEVEGE —— » a sera plus grand que +”.

Si a<—-— » « sera plus petit que &”.

Tous ces résultats peuvent se résumer dans le tableau suivant :

bP— 4ac>o;

deux racines Lee er

Exempze. — Soit l'équation du second degré

en à « :

Le discriminant b? — 4 ac — 49 — 20 — 29 est positif.

Considérons le nombre 2. Pour reconnaître sa position par rapport aux racines, substituons 2 dans le premier membre de l'équation que nous appelons f(x). Nous aurons :

2 n’est pas compris entre les racines. Comparons alors 2 à la demi-

somme - des racines, On à :

2 En n° Donc 2 est plus grand que la plus grande racine.

sl I Considérons encore le nombre -, on a :

5 — 5 (2)=+-2 + Er pme

1 , Donc - est compris entre les racines.

277. Résolution des inégalités du second degré. — Une inégalité conditionnelle est dite du second degré lorsqu’en faisant passer tous les termes dans un membre, et toutes réductions faites, elle prend la forme :

ax? + bx +c>o.

Résoudre cette inégalité, c’est trouver les valeurs de x pour lesquelles le trinôme ax? + bx + c prend une valeur numérique positive. Or, d’après ce qui précède, les signes des valeurs numériques que peut prendre ce trinôme dépendent du signe du discriminant.

On formera donc avant tout le discriminant b?— 4 ac.

1° Si b— 4ac <o, le trinôme a toujours le signe de a.

Il en résulte que :

Si a > 0, l'inégalité est vérifiée pour toute valeur de x ;

Si a <o, l'inégalité n'est jamais vérifiée.

2° Si b— 4ac—0, le trinôme a toujours le signe de a,

sauf pour X—=——.

Donc :

Si a >0, l'inégalité est vérifiée pour toutes les valeurs de m=sauf. pour T—= aa

, De COURT Tr

Si a <<o, l'inégalité n'est jamais vérifiée.

3° Si bB— 4ac > 0, le trinôme-a alors deux racines æ&’ et &'° qu'on’ calculera (x’ > x”).

Si a>o, pour que l'inégalité soit vérifiée, le trinôme devra être du signe de «, par suite æ ne devra pas étre compris entre les racines.

On devra avoir :

soit DES soul DM'ÉLA

Si a<Zo, pour que l'inégalité soit vérifiée, 1l faudra que le trinôme soit de signe contraire au signe de a, par suite, æ devra être compris entre les racines.

On devra donc avoir :

TE RE 06 E REMARQUE, — Si on avait mis l’inégalité sous la forme ad + bx +c<o, on aurait obtenu des conclusions analogues.