IS “A SR

Fe . 4 Ceci donne :

C'est donc une parabole (fig. 36) ayant pour sommet le point 0’ et pour axe la droite O’y’. Son ouverture est tournée vers le haut.

Pour tracer cette courbe avec plus de précision, marquons-en quelques points.

D'abord le point À où la courbe coupe Oy ayant une abscisse nalle, s’obtienten faisant &— o. La valeur correspondante de y est — 5.

Ensuite, les points B et C où la courbe coupe 0x ont des ordonnées nulles. Pour ces points on à y —0. Par suite, les valeurs sont telles que l'on ait :

Cette équation à deux racines :

Dr Vian 1,19,

Ty —

ES ee: V2)

nm —

Ce sont les abscisses des points B et C.

306. — Signification géométrique de la résolution d’une équation du second degré. — Soil :

(1) ax? + bx + c—o une équation du second degré, et considérons la fonction (2) y = ax? +. bx + c.

Résoudre l'équation (1) c’est trouver les valeurs particulières de x pour lesquelles la fonction Y prend la valeur numérique zéro.

Si, alors, on construit la courbe représentative de la variation du trinôme (2), les points qui auront pour abscisses les racines x’ et x” de l'équation (1) auront des ordonnées nulles. Ce seront donc des points situés sur l'axe OX.

Résoudre l'équation (x), c’est donc trouver les abscisses des points de rencontre de la parabole (2) avec l'axe Ox.

Les résultats trouvés au n° 256 s'expliquent alors aisé-

ment.

Supposons par exemple «a > o.

END, 4ac — b? RER 1°S10*—4ac>o, DS erero est négatif, le sommet O’

de la parabole est (fig. 37) au-dessous de Ox et, comme la parabole est tournée vers le haut, elle coupe Ox en deux points, 1l y a deux racines.

Aac — b?

À ie de Le sommet O’ de la parabole est sur Ox; il n’y a plus

2° SI 0—4aC—0, Y—

qu'un point sur Ox, c’est O”. Il n’y a qu'une racine. Dans ce cas la parabole est tangente à Ox. On peut dire que les deux points d’intersection sont venus se confondre en un

Fig. 37.

seul. On peut donc dire qu'il y a deux racines confondues, deux racines égales.

AL 3° Si P—4ac<o0, Y LE mur est positif.

Le sommet O’ de Ia parabole est au-dessus de Ox. La

parabole est tout entière au-dessus de Ox, elle ne coupe pas Ox. Il n’y a pas de racines.

g 2. — Variation de la fonction is a'x +b 307, — Variation de la fonction — Soit + une

variable indépendante, proposons-nous d'étudier la variation de son inverse.

Remarquons à cet effet que les valeurs absolues de x

ét É varient en sens inverse; quand la valeur absolue

I re de + augmente celle de 5 diminue.

e « % “en F1

D'autre part, lorsque x est très grand en valeur absolue

= est très petit en valeur absolue, c’est-à-dire très voisin de o.

I ie , Plus æ est grand, plus 2 est voisin de zéro.

Ainsi, pour T— I 000, qi: RTE A 5: SACRNE

ln &le

pour æ— 1 000 000, on à : 0,000 001 , (2.1 (CAS

. CR PT I On peut donc dire que, quand x est infiniment grand, = tsl nul.

Au contraire, lorsque x tend vers zéro, son inverse croût indéfiniment. |

Nous retrouvons là un fait déjà rencontré plusieurs fois (n°* 406, 107, 151). Lorsque dans une fraction le dénominateur devient très petit, cette fraction devient très grande.

De ces remarques préliminaires résulte immédiatement

é À j à la variation de Es

Quand x croît de — à o, par valeurs négatives, sa va-

4 x I leur absolue décroît de + à o, la valeur absolue de =

croît de o à + et = décroît de o à —+, par valeurs négatives; car quand x tend vers zéro par valeurs négatives, croît indéfiniment par valeurs négatives.

PUUI LS 0, : n’a pas de sens.

Lorsque æ croit de o à ++ par valeurs positives, son

‘ I - : . FE inverse = décroit de + + à o par valeurs positives.

En résumé, = décroît sans cesse.

Pour æ=0, il y a ce qu'on appelle une discontinuilé, la

fonction n’a pas de valeur définie, elle passe brusquement de —x à ++, c'est-à-dire d’une valeur

excessivement grande et négative à une 4 y valeur excessivement grande et posi-

tive. C'est un fait que nous avons déjà EPS 1 rencontré au n° 104. Tous ces résultats croit | décroit se résument dans letableau ci-joint, dans To lequel nous avons mis une barre en face + RE de o, pour indiquer qu’il n’y a pas de croit él décroit valeur correspondante pour y. + 0

308. — Représentation graphique de la variation I . 20 de Demi qe Prenons deux axes rectangulaires et choisis-

sons une unité de longueur arbitraire.

1° Lorsque æ croit de —æ à o, y est négatif et décroît de Où—X%,.

Traçons quelques points.

pour æ——2 , ona: y——- , ce qui donne le point A, ee TEST LE, — Y=—1 , — D’ I f.

—— ÉCTRS , — Y— — 2 , — Ce Ù DA fa — L=—9 — 1} }

En joignant par un trait continu, on a une branche de courbe descendante A’B'C'D', siluée au-dessous de Ox

> Lorsque æ croît de o à +, y est positif et décroît de + à o.

Marquons encore quelques points :

I : + pour Œ—- ,, Ona: y—2, ce qu donne le point A, == dE] , + Y—=TX ;, eS B, —— DE 9 , nn y — = , x 1 C, I — es DENIS FES brreie + D.

Sa Se

ee Wa 7. Te 2 s J'es d'pR. -

Ts TRé Me ji;

En joignant par un trait continu, on a ainsi une seconde branche de courbe ABCD descendante, située tout entière au-dessus de Ox (fig. 38).

Fig. 38.

309. — Asymptotes. — On dit qu'une droite est asymptote à une branche de courbe infinie si la distance d'un point de la courbe à la droite tend vers zéro lorsque ce point s'éloigne indéfiniment sur la branche de courbe. Inversement la branche de courbe est dite asymptote à la droite.

Nous allons montrer que :

Les deux branches de 1a courbe représentative de la variation de la fonction y — = sont asymptotes aux axes de coor-

données,

Soit, en effet, M un point de la courbe. Abaissons de ce point les perpendiculaires MP et MQ sur Ox et Oy (fig. 39). MQ est égal à OP et, par suite, à la valeur absolue de æ; MP est égal à O0 et, par suite, à la valeur absolue de y :

MO—4x) , MP=—|y.

Cela étant, 1° Lorsque æ croît indéfiniment, y tend vers zéro, le

Fig. 39.

point M s'éloigne indéfiniment dans le sens Ox et MP tend vers zéro.

La distance MP du point M à Ox tendant vers zéro le point M décrit une branche de courbe asymptote à Ox.

Lorsque æ croît indéfiniment par valeurs positives, M décrit la branche BC (fig. 39) asymptote à Ox et au-dessus.

Lorsque æ croît indéfiniment par valeurs négatives, M décrit la branche B'C’ asymptote à Ox’ et au-dessous.

2° Lorsque x tend vers zéro, y croît indéfiniment. Dans ce cas le point M s'éloigne indéfiniment dans le sens Oy et MQ—|x| tend vers zéro.

La distance MQ du point M à Oy tendant vers zéro, le point M décrit une branche asymptote à Oy.

Lorsque æ tend vers zéro par valeurs positives, y croît indéfiniment par valeurs positives et M décrit la branche BA (fig. 39) asymptote à Oy en haut.

Lorsque x tend vers zéro par valeurs négatives, le point M est à gauche de Oyet décrit la branche de courbe B'A’, : asymptote à Oy' en bas.

310. — Axes et centre. — Nous avons déjà vu que la parabole qui représente graphiquement les variations de y = ax? admet un axe de symétrie.

D'une façon générale, on dit qu'une courbe admet un axe de symétrie, si les points de cette courbe sont deux à deux symétriques par rapport à une droite, appelée axe de symétrie.

On dit qu'une courbe admet un centre si les points de cette courbe sont deux à deux symétriques par rapport à un point, appelé centre.

Nous allons démontrer les deux propositions suivantes :

La courbe représentative de la variation de y — = admet

deux axes de symétrie qui sont les bissectrices de l'angle xO1y des axes de coordonnées et elle admet un centre qui est l'origine des coordonnées.

Prenons, en effet, un point quelconque M de la courbe, À ; ; I AE soit m son abscisse; son ordonnée sera es Considé-

rons alors le point M’ (fig. 4o) dont l’abscisse est égale à

mn

M' est égale à l’abscisse du point M. On a donc :

m5 SOn ordonnée sera y — —m. L'ordonnée du point

UPEOP et la figure OPRP’ est un carré. La droite OR est donc la