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bissectrice de l’angle x01y puisque c’est une diagonale de ce carré.

De même, l’abscisse du point M’ est égale à l’ordonnée du point M et on a:

La figure OQSO"' est donc aussi un carré et sa diagonale OS est aussi la bissectrice de l'angle æOy.

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Les trois points O, R et S sont donc en ligne droite sur la bissectrice Oz de l'angle æOy. Mais la figure MRM'S est aussi un carré, car ses quatre angles sont droits et on a :

MS=0'P=O0OP=00=O0RI=00=POMS I en résulte que MM’, qui est la seconde diagonale de

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VARIATIONS DE FONCTIONS. 285 ce carré, est perpendiculaire à la première diagonale Oz et

est partagée par elle en deux parties égales. En d’autres termes, les points M et M’ sont symétriques

par rapport à la bissectrice Oz.

On en conclut bien que la droite Oz est un axe de symeébrie de la courbe, puisque à chaque point M correspond un point M de la courbe symétrique par rapport à Oz.

Considérons maintenant le point M, (fig. 40) d’abscisse

I , I Ts son ordonnée sera PTE Th,

m Il en résulte que l’abscisse de l’un des points M ou M, est opposée à l’'ordonnée de l’autre, on a donc

OP——OP, et 00——00, et, entre les longueurs, DPRESOPIMEPRUOE= OO!

En raisonnant comme plus haut, on verrait que les quadrilatères OPR,P;,, OOS,Q, et MS,M,R,, sont des carrés; et par suite que la droite S,R, est la bissectrice de l'angle æOy' et que M et M, sont symétriques par rapport à cette bissectrice {Of'.

La seconde bissectrice tt’ de l'angle des axes de coordonnées est donc bien aussi un axe de symétrie.

Considérons, enfin, le point M’, d’abscisse — m. Son ordonnée est Yy=——

En raisonnant, comme nous l’avons fait, on verrait que M’, est le symétrique de M, par rapport à 33 et le symétrique de M’ par rapport à l'E.

Ceci résulte d’ailleurs immédiatement du tableau suivant qui donne les coordonnées des 4 points M, M’, M. M’, :

symétrique;symétrique | 2 y par rapport|par rapport à 33%! LUC M m M’ M, I !

M EL m M M!

Tr M, CR Me M mn | I M’, — M rs M, M’

Lorsque, pour deux points, l'abscisse de l’un est égale à l’'ordonnée de l'autre, ils sont symétriques par rapport à 22’.

Lorsque, pour deux points, l’abscisse de l’un est opposée à l’'ordonnée de l’autre, ils sont symétriques par rapport sur

De tout ceci, il résulte que la figure MM'M°,M, est un rectangle et que 33° et {{’ sont les perpendiculaires au milieu des côtés. Le point O est donc le centre du rectangle et les points M et M”,, qui sont deux sommets opposés de ce rectangle, sont symétriques par rapport à O.

À tout point M de la courbe correspond donc un point M’, symétrique par rapport à O : le point O est donc le centre de la courbe. «