Courbe représentative de la variation de

ax + b y TE + æ

Oy (fig. 42), et marquons un axe O, x, parallèle à Ox et

- — Traçons deux axes rectangulaires Ox et

de même sens, tel que le point O, où il coupe Oy ait pour ordonnée

Faisons alors un changement d'axes (n° 303), et prenons pour nouveaux axes : l'axe O, x, que nous venons de tracer

Fig. 42.

et un axe O, y, coïncidant avec Oy. Les coordonnées de la

nouvelle origine O, par rapport aux premiers axes (Cet Oy seront :

Lo ET) , Uo — €.

Si donc nous appelons x,y les coordonnées d’un point M par rapport aux premiers axes, et #1, les coordonnées du même point par rapport aux nouveaux axes, nous aurons, en appliquant les formules (2) du n° 803 :

Gi) FR Y=AQ + Yi

292 PRÈCIS D’ALGÈBRE.

Ceci posé, pour tout point M de la courbe qui repré-

RE $ ax + b sente la variation de la fonction y — Tr OO LENS

b (2) Y=IRS

Remplaçons y et æ par leurs valeurs fournies par les égalités (1) et il vient :

a = à + — + Yi ch m ou, en simplifiant,

Ua = —* U1 x Donc, par rapport aux axes O, x, et O, y, la courbe a la méme équation que plus haut.

Nous sommes ramenés au cas précédent puisque y, est b de la forme —- T1 La courbe cherchée est donc,une hyperbole équilatère qui admet pour asymptotes (fig. 42) les nouveaux axes D'rret Ou Pour construire la courbe représentative de

" __ax +b RARE:

il suffit de construire, par rapport aux nouveaux axes

O,x;, Oiy1 la courbe

b Hz

Cette courbe coupe Ox'au point d’abséisse 7.

Ainsi, par exemple, pour construire la courbe représentative de la fonction 24 +5 y—= RE

considérée plus haut, on prendra 00, —2. On construira lhyperbole

VARIATIONS DE FONCTIONS. 293 qui a pour asymptotes O,x, et O,y, et qui représente la variation de Yi = je

AP 1 3 Cette courbe coupe Ox au point d’abscisse — —:

317. — Application. — Courbe représentative de la variation du rapport des distances d'un point d'un axe à deux points fixes de cet axe.

Nous avons vu (chap. 11, $ 4) que si l’on considère deux points fixes A et B d’un axe, le rapport

es BM

RE an se met sous la forme :

(le Rogr- av pu

en désignant par a le segment AB et par æ l’abscisse AM du point M.

Pour mieux se rendre compte de la variation de ce rapport y, représentons-le graphiquement.

Prenons, à cet effet sur la droite AB (fig. 43) le point A pour origine O des abscisses. Le sens AB comme sens positif et la droite AB pour axe des æ. Élevons au point A (ou O) une perpendiculaire Oy.

Soit alors M un point quelconque de la droite AB. Élevons en M une perpendiculaire MP et prenons sur cette perpendiculaire un segment MP égal à y, P étant audessus de Ox quand y est positif et au-dessous quand y est négatif. Le point P a pour coordonnées # et y et quand æ varie, le point P décrit la courbe représentative — à

de la variation du rapport y — 5

Ce rapport s'écrit :

D'après ce qui précède, pour construire cette courbe, nous prenons sur Oy un segment O0, = 1 et nous construisons par rapport aux axes O,x, et O, y, (coïncidant avec Oy) la courbe représentative de la fonction

Us — —°.

Vi x,

Ici le nombre b est égal à — a; il est donc négatif. L'hyperbole est placée dans les angles æ&'O, y, et æ,0,y.

v4 PE

Fig. 43.

Elle admet pour asymptotes O,x, et O,y,. D'ailleurs elle coupe Ox au point &æ — a, c’est-à-dire au point B.

Cette hyperbole étant tracée, on se rend aisément compte, de visu, de la variation de y.

BM Pour avoir la valeur du rapport TU pour un point M

de la droite AB, on élève en M une perpendiculaire à AB jusqu'en sa rencontre P avec l’hyperbole. La mesure algébrique du segment MP est la valeur du rapport en M.

Dans la portion æ’A le rapport y est plus grand que 00, c'est-à-dire plus grand que 1.

Dans la portion AB le rapport y est négatif puisque la courbe est au-dessous de Ox.

Enfin, dans la portion Bx le rapport y est positif, mais plus petit que O0, c’est-à-dire plus petit que r.

Toutes les circonstances trouvées au chapitre 11 ($ 4) sont bien mises en évidence.