LEO

décroit

PCR 16e |

a+ b(min.)

croît

zr |b

croit

——|- a+ b(max.)

décroît

330. — Variation de asinwæx+bcos wæ. — En mécanique, dans l’étude des mouvements vibratoires on rencontre fréquemment la fonction

(1) y =ASiNvwXr + bcoswr,

qui donne l'écart y d'un point animé d’un mouvement vibratoire en fonction du temps x.

L'étude de cette fonction se ramène immédiatement à celle de la sinusoïde.

On peut, en effet, toujours trouver deux nombres « et #, tels que l'on ait :

(2) a COS PU, a Sin p — 0.

En faisant Ia somme des carrés de ces deux égalités on trouve

a—a+b d'où a—Va?+b;

et l'angle + est alors déterminé à 2x près, puisqu'on con-

nait son cosinus et son sinus :

COS ? — » Siny

[27 Vas + be re

Ayant calculé « et #, vérifiant les égalités (2), la formule (1) s'écrit :

y—=a{sinwx cos es +coswx sine], (3) F Y—=aSIin (wo € + ?).

Sous cette forme on voit que y est proportionnel au sinus de la fonction linéaire ox + ®.

D'après les résultats du n° 326, le sens de la variation

; . , T d'un sinus change lorsque l’on passe par les valeurs -;

4 elc.; par suite, le sens de la variation de y change

lorsque x passe par des valeurs telles que T7 I T SCA UR RE LE és +) T © © + p— D'ailleurs y repassera par les mêmes valeurs chaque fois

que wæ ++ augmentera de 27. Pour cela il suffit que ox

augmente de 27, ou æ de —: La fonction y admet donc la ü) DE 2H . . + :

période — et on aura sa variation complète en faisant oO

. 27% varier æ de o à —.

uw)

Supposons w positif. D'ailleurs, nous pouvons toujours prendre pour « la valeur positive et pour + une valeur comprise entre o et 27. Pour fixer nos idées, admettons,

par exemple que + soit plus petit que 3 on aura alors le

tableau de variation suivant :

+ Lo 4 Tr | Le 1 5 ‘ à cr LE Rae :

La courbe représentative est une sinusoïde décalée de

4 © C+—9 y £ c’est-à-dire déduite de la sinu- (e) p a SIN ? . :

; soide qu’on aucroit * croit : | :

rait fait glisser le il TH TH — LA t - 5 (9 œ 2 É ] 2 long de ox de <.

croît décroît à En effet, on peut (re) 7 (o écrire :

croît décroît l "28 x \ 37 y—asinol x En re FF +) = — à J Æ w) Loi) 2 2 croit croit Si donc on fait : le changement de ps 2R — © 27T O 1 Enoil Ra: coordonnées . 2T + a SiN ax" — + ;y=y (0) œ D

ce qui revient à transporter (n° 303) les axes au point O0’ de ox d’abscisse —* l'équation de la courbe devient : y'—=asinwæx";

cest donc, par rapport aux nouveaux axes ox, o'y' (fig. 51) une sinusoïde.

mp) LÉE-#

831 — Variation de atgæ + b. — La variation de la

fonction y—=atgx+b

se déduit d’une façon analogue de celle de tg x. Lorsque x augmente de x, tgæ reprend la même valeur, il en est donc de même de y. La fonction y est donc également périodique et admet pour période 7.

Il suffit, comme pour to x (n° 328), d'étudier la variation lorsque x

: T TL varie de — = à + st Or,

dans cet intervalle, tg æ croît de — © à + œ, par suite :

1H >; "y varie dans le même sens que tg æ et croît de — à de RE

2 Si a <0O, y varie en sens contraire de tg æ et décroit de + oœ ne ACER SN AURE dt ve, :

La courbe représentative (fig. 52) se déduit facilement de celle de tg x (fig.48).On obtient, en effet, l’'ordonnée y en multipliant tgæ par Pig 53.

a et ajoutant b. Il suffit

donc de dilater la courbe de la figure 48 dans le sens oy dans le rapport de a à 1, puis de la transporter, parallèlement à oy, de la longueur b.

Lorsque a est négatif, la courbe est renversée par symétrie par rapport à 0%.

On obtient ainsi les deux courbes des figures 52 et 53.

332. — Trinôme du second degré où la variable est une ligne trigonométrique. — Nous avons étudié (Ch. VII, $ 1) la variation du trinôme du second degré. Sr dans un tel trinôme, on remplace x par une ligne trigonométrique, sin æ, cos æ, tg æ, on obtient une fonction de fonction dont la variation se déduit de celle du trinôme en ne prenant que la partie relative aux intervalles dans lesquels peut varier la ligne.

Pour mieux nous faire comprendre, avant d'examiner le cas général, traitons un exemple numérique.

333. — ExEMPLE. — Etant donnés un cercle, un diamètre AA! et un point M du cercle, étudier la

B M variation de l'excès de la corde AM sur sa projection AP sur le cia- A mètre AA’ quand M décrit le cercle. Prenons comme variable x la PRÈS

moitié de l'angle AOM, de telle

sorte que (fig. 54).

Fig. 54. A AOM=sT:

On a, alors :

AM=SRSnm?, R étant le rayon du cercle, et ‘PA—OA—OP—R—Rcos2æ—2Rsin°x.

La différence en question y est donc :

(1) y=2R sin æ —>2R sin? x.

Pour étudier sa variation, il suffit évidemment, à cause de la symétrie, de faire décrire au point M le demi-cercle ABA’, c’est-à-dire de faire varier 2x de o à Tr ou æ

à T s Al T + A x | de o à—’ Quand x croît de o à-; sinx croit de o à «…. k 2

Nous avons donc à étudier la variation de la fonction du second degré y lorsque la variable sin æ varie seulement de o à 1. y est un trinôme du second degré en sin æ de la forme :

y—=asin?æ + bsinx+c

où Dr alt to ane 0:

Comme a est négatif, d’après les résultats trouvés précédemment (n° 302) y passe par un maximum lorsque

b SIN T———, :

si c'est possible. Or ici le maximum aura lieu pour

; I SInT —=-

d’où TC

On a donc la variation suivante :

e 6 2 3 croit décroît T 2 O REMARQUE. — À cause de l’origine géométrique de la

question, nous n’avons fait varier æ que de o à -; mais si on

via

considère la fonction y en elle-même et que l’on fasse

varier æ sans limites, on a là une fonction périodique de période 27, dont la variation dans l'intervalle 0,27 est réprésentée par le tableau suivant :

D'après les ré-

À ADSL J sultats connus o . ; sur le trinôme, croît Lot y varie dans le r 1 R même sens que 6 2 4 (max. sinæ quand sinæ croît décroît est plus petit T I

; I o (min.) que = et en sens ment croit contraire quand i : = (raz. ) sinæ est 2

décroît décrott grand que 4 ; à ; R décroît Aécrat Le maximum :

37 ee —4R. (min.) est un maximum : croît a absolu atteint 2T b sk deux fois; il ya

en outre le mini-

Sa : T Tee mum relatif o atteint pour æ — - et le minimum absolu

— 4R atteint pour x = —.

La courbe représentative est alors facile à construire (fig. 55). »

334. — Cas général. — Considérons, d’une façon plus générale, la fonction :

y—=asin? æ + bsinæ + c.

Nous savons (n° 302) qu’un trinome du second degré, lorsque a est positif, varie dans le même sens que la

variable si cette variable est plus grande que . et

varie en sens contraire de la variable si elle est plus petite

Fig. 55.

b PA , QUE Par suite, pour savoir si y varie ou non dans le même sens que le sinus, il suffit de voir si le sinus est b 2 plus grand ou non que — 2e Or, comme le sinus reste toujours compris entre — r et+ 1,1l y aura par suite trois cas.

: b 1° Si ra 1, sinæ restera toujours plus petit que gr et y variera toujours dans le sens contraire du sinus.

| b ÿ d% Si—1 ÉrS 1, il y aura changement dans le sens

de la variation, non seulement chaque fois que sin æ change de sens mais encore chaque fois que æ passera par une

valeur telle que

! b SLR EE 2 4

C'est le cas de l'exemple précédent.

ARC à 9° Si — A <— I, Sinæ restera toujours plus grand que

b . 1 | —— et y variera toujours dans le même sens que le sinus.

> A On obtiendrait évidemment des résultats analogues pour l'étude de la variation de fonctions de la forme : Yy—=aCcos? x +bcosæx+c ou :

y—=atg?x+bigæx+c.

Dans ce dernier cas, la fonction y deviendrait infinie en même temps que la tangente.

471. Trouver le maximum ou le minimum de l'expression y= (22 +(2a—1) Etudier la variation de y quand x varie.