AY=A
338. — Limites. — Chacun de nous a la notion vulgaire de la limile d’une quantité variable. d Si l’on veut préciser un peu, au point de vue mathéma-
QE re me » LA ANT tre, Cr A + À
| DÉRIVEES. 391 tique, cette notion, on peut dire : qu'une quantité variable y a pour limite un nombre b, ou encore tend vers b, si elle peut devenir aussi voisine qu’on le voudra du nombre b, si la différence y — b peut devenir, en valeur absolue, aussi petite qu'on le voudra.
Par exemple, si l’on considère la fonction y — 3 — 2T,
cette fonction y a pour limite 3 lorsque x tend vers zéro. La différence y — 3 est, en effet, en valeur absolue égale à la valeur absolue de 24; elle peut donc devenir aussi petite qu'on le voudra pour des
si x est
valeurs assez petites de x. Ainsi elle sera plus petite que me
plus petit que —— (en valeur absolue), elle sera plus petite que O
ul
si æ est plus petit que etc.
I 000 000 3 000 000 Voici encore d’autres exemples, déjà rencontrés : Une fraction dont le dénominateur croît indéfiniment {end vers zéro. Ainsi la fraction
EE ÿ TL
tend vers zéro quand x croît indéfiniment, car
pour TZ — 100, Y— 0,01; pour T=—:1 000, y — 0,007; Pour Æ — 1 000 000, 7 — 0,000 OOT,
et ainsi de suite. On peut prendre la valeur de x assez grande pour que y soit aussi voisin de zér0 qu'on le voudra.
En arithmétique, on apprend que quand on ajoute un même nombre aux deux termes d’une fraction, cette fraction se rapproche de l'unité. Quand le nombre que l’on ajoute croît indéfiniment, la fraction tend vers I.
ne 7 ‘ 2 ‘ A ., Ainsi, considérons la fraction 3’ ajoutons un même nombre positif æ aux deux termes : la nouvelle fraction 2+ ZX (he J 3 + x
croît avec x et {end vers 1 quand x croît indéfiniment. Îl suffit, pour le voir, d'opérer comme nous l'avons fait au paragraphe qui précède,
On écrit :
16% 3 +x FN
Quand x croit, décroît, done la partie soustractive de y dimi-
: RS CE ; nue et y croît. Quand x croît indéfiniment, ; tend vers 3610,
done y tend vers 1, puisque la différence r — y égale à 5 devient
aussi petite qu’on le veut.
Nous admettrons, pour le moment, sans démonstration que :
Si plusieurs quantités variables ont des limites, leur somme ou leur produit a une limite qui est la somme ou le produit de ces limites.
Nous admettrons aussi que :
Si deux quantités variables ont des limites, leur quotient a une limite qui est le quotient des limites, pourvu que la limite du dénominateur soit différente de zéro. à
Lorsque le dénominateur d’une fraction tend vers zéro, et que le numérateur reste différent de zéro, la fraction croît indéfiniment. Nous en avons eu plusieurs exemples au cours de cet ouvrage.
339. — Définition de la dérivée d’une fonction. — Considérons une fonction y d’une variable x. Supposons qu'on donne à la variable æ un accroissement A, 1! en résullera pour la fonction y un accroissement correspondant Ay.
AD | Formons le quotient ne et faisons tendre Ax vers zéro.
Si ce quotient a une limite, lorsque Ax tend vers zéro, cette limite est ce qu’on appelle la dérivée de la fonction y. Par suite :
On appelle dérivée d'une fonction la limite du rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement corres-
pondant de la variable lorsque l'accroissement de la variable tend vers zéro.
340.. — Remarque importante. — Il résulte de la définition qui précède que, pour calculer la dérivée d'une fonction y de la variable x :
1° On donnera à-æ un accroissement;
2 On calculera l'accroissement correspondant de y;
5° On divisera l'accroissement de y par celui de x;
4 On cherchera la limite de ce quotient.
On est donc toujours amené à chercher la limite d’un quotient dont le dénominateur fend vers zéro. Pour que cette limite puisse exister, il faut que le numérateur tende aussi vers zéro, car sans cela (n° 338) la fraction croîtrait indéfiniment.
Si on laissait la fraction sous la forme sous laquelle on l’obtient, sans la simplifier, on n'obtiendrait aucun résultat, car les deux termes dé la fraction tendant fous deux
; $ 0 SE vers zéro, on obtiendrait s' Ce qui n'a aucun sens.
Donc,
Avant de chercher la limite du quotient, il faut toujours avoir soin de lé simplifier.
344. — Notation. — Pour désigner la dérivée d’une fonction, on affecte la lettre qui désigne cette fonction d’un accent.
Ainsi la dérivée de y se désigne par y’ (ce qui se lit y prime); la dérivée de f(x) se désigne par f’(x).
On emploie encore une autre notation, appelée notation chfférentielle, qui consiste à représenter la dérivée de y
dy par Le
Pour l'instant, l'élève devra considérer l'expression comme une simple notation, et ne pas y voir, à proprement parler, un quotient.
HA rie RES RUE EVE
Cependant cette notation, dans les applications pratiques, pourra être considérée comme un quotient, et voici
comment :
Ay
La dérivée est la limite du rapport © lorsque A et Ay
tendent fous deux vers zéro. Lorsque Ax et Ay. sont très
. A1 } s petits, le quotient . est une valeur approchée de la dérivée y, d'autant plus approchée que les accroissements sont plus petits.
Dans les applications prakiques, en physique par exemple, on peut prendre comme valeur de la dérivée y’ cette valeur approchée; dans ce cas, on peut alors considérer
08 CU ; que T est un quotient de deux valeurs dæ et dy très petites des aècroissements Ax et Ay. C’est pour cette raison que souvent en physique, pour abréger le langage, on désigne par dæ et dy les accroissements de æ et y sup-
posés très petits, et alors la dérivée est égale très approæima-
à e : l tivement à ce quotient Fe de 342. — Premiers exemples numériques. — Pour
calculer la dérivée d’une fonction y de x on aura soin de suivre la marche indiquée au n° 340.
Il sera encore bon de faire attention aux remarques suivantes :
Si on donne à la variable æ un accroissement Ax—h, la valeur finale de la variable (n° 335) est & + h. La valeur initiale. de la fonction y est celle qui correspond à la valeur initiale x de la variable ; sa valeur finale sera celle qui correspond à la valeur finale æ + h de la variable.
On remplacera donc æ par æ + h dans l'expression de y pour avoir sa valeur finale.
On aura ensuite l'accroissement de y en prenant l'excès de sa valeur finale sur sa valeur initiale,
LARMES PRE CFA a STE ONE ce tra or 4 x \ . 2 s DÉRIVÉES. 52
On divisera cet accroissement par À et on aura soin de simplifier le quotient obtenu.
EXEMPLE [. — Soit à calculer la dérivée de la fonction : RAT ENT chat e Donnons à x un accroissement :
Atese 1Pe
La valeur finale de x est æ + .
La valeur finale de y est donc :
L'accroissement de y est l'excès de la valeur finale sur ia valeur initiale :
Ay—= 2 (x + h) +3 — (2x +3),
ou, en simplifiant :
AU an.
On a par suite :
äy 2h À Arte En simphfiant, 1l vient :
LUE Aa 2
° A? # bi À 7 « L . .
Le quotient J étant toujours égal à 2, sa limite est aussi égale Ax D
à 2, donc :
dy __
