Dérivée de a, — La dérivée de la fraction ax + b
ax +b de ab'— ba".
a'x + D’ (ax + b'} Soit . AT + b AT a'x + b’ En donnant à la variable x l'accroissement Ax—=h
la fonction y prend la valeur finale SE ee D
a'(æ + h) + 0’ ei son
accroissement correspondant est :
EE ax + ah+b A a+ b Lip ax+ah+b ax<+b
, RESTES TES EE ETS 330 | PRÉCIS D'ALGÈBRE. T4 En réduisant au même dénominateur et simplifiant le | numérateur, on trouve : 1 AE ab'h— a'bh (ax + a'h + b')(a'x + b’) On en déduit :
AY __ ab" — ba’ Aœ (axæ+ah+b)(aæ+b) car le numérateur de Ay est divisible par À.
Lorsque l'accroissement h de æ tend vers zéro, le premier facteur du dénominateur devient égal au second et, par suite, a pour limite res On a donc bien :
, ab’ —ba
VE a+ 0
ExemPLes. — Voici quelques applications numériques : — L PS a I L2 HE PET qa à?
y—=— y ; JS RU CRT 22% +1 ea LR Mg me UE 1 4x —3 AD w IT EEE CN PTE 347. — REMARQUE. — Pour faciliter le calcul de la " ax + b x ; dérivée de RES on peut se servir du moyen mnémo-
nique que voici : les quatre coefficients a, b, a/,b', étant disposés comme ils le sont dans la fraction
NZ
Fa il suffit, pour avoir le numérateur, de faire la différence des produits en croix.
DÉRIVEES. 331
$ 2. — Application du calcul de la dérivée à l’étude de la variation d’une fonction.
348. — Interprétation géométrique de la dérivée. — Théorème. — Le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative de la variation d’une fonction est, en chaque point, égal à la valeur correspondante de la dérivée de la fonction.
Rappelons d’abord la définition géométrique de la tangente en un point d’une courbe.
Soit C (fig. 56), une courbe, et M, un point de cette
Fig. 56.
courbe. Prenons sur la courbe un second point M’, voisin du point M, et traçcons la droite MM’. Si, lorsque le point M’ se rapproche indéfiniment de M en restant sur la courbe C et vient se confondre avec M, la droite MM’ tend vers une position limite MT, c’est cette position limite qu'on appelle la tangente à la courbe C au point M.
Le point M est alors ce qu’on appelle le point de contact de la tangente MT.
Ceci posé, considérons une fonction y d’une variable æ : et imaginons qu'on ait tracé (fig. 56) la courbe C représentative de la variation de cette fonction.
Soit M un point de ceite courbe d’abscisse æ el d’ordonnée y. Donnons à æ un accroissement Ax, la fonction y Subira un accroissement correspondant Ay et les valeurs finales de la variable et de la fonction seront respectivement æ + Aæ, y + Ay.
Soit M’ le point de la courbe de coordonnées æ + A%, y + Ay. Traçcons la droite MM’ et cherchons d’abord son coefficient angulaire.
Si nous désignons par à le coefficient angulaire de MM’ et par b l’ordonnée à l’origine de cette droite (n°° 236 à 239), l'équation de cette droite sera :
(1) y=aL + b.
D'autre part, comme le point M’ est situé sur cette droite, ses coordonnées vérifient également l'équation (1), et nous aurons :
y + Ay=a (x + At) + b ou :
(2) y + Ay = ax + aA + b.
Retranchons, membres à membres, les égalités (1) et(2) et il vient :
Ay 00.
On en tire :
___Ay (3) LT
formule qui donne la valeur «a du coefficient angulaire de la droite MM.
Ceci posé, supposons que le point M’ se rapproche indéfiniment de M et vienne se confondre avec lui. Les
Litige 12 RONDE Le DAS CR CO ESS LS % Per D Ê KL + AN - 5 co Î L + Le +
accroissements Ax et Ay tendront tous deux vers zéro et A1 NA 42 .
le rapport a = aura pour limite la dérivée y’ de la fonction y. Or, puisque MM’ a pour limite la tangente MT en M, le coefficient angulaire a de MM aura pour limite le coefficient angulaire de la tangente MT. La limite de a, qui est y’, est donc le coefficient angulaire de la tangente
MT. C'est ce que nous voulions démontrer.
349. — REMARQUE. — Nous avons vu (n°237) que le coefficient angulaire d'une droite est égal à la fangente trigonométrique de l'angle que fait cette droite avec la partie positive de l’axe Ox.
Si donc on désigne par « l'angle &, MT (fig. 56) que fait la tangente à la courbe en M avec l’axe Ox, on a l'égalité
tanga—1.
350. — Croissance. — Théorème. — Lorsqu'une fonction est croissante, sa dérivée n'est pas négative.
Soit y, une fonction croissante de la variable æ. Ceci veut dire (n° 209) que y et æ varient dans le même sens.
Donnons à æ un accroissement Ax et soit Ay l’accroissement correspondant de y. Dire que x et y varient dans le même sens, c’est dire que æ et y augmentent ou diminuent en même temps.
Si, en passant de la valeur initiale æ à la valeur finale æ +- Aæ, la variable augmente, Ax est posihif; mais alors la fonction, passant de la valeur y à la valeur y + Ay, doit aussi augmenter, et Ay doit être positif.
Si, au contraire, la variable a diminué, Ax est négatif; il doit en être de même de la fonction et Ay doit être également négatif.
En d’autres termes, lorsque la fonction est croissante, Aæ et Ay sont de même signe.
Le quotient 4. est donc toujours positif; et, par suite,
sa limite, lorsque Ax tend vers zéro, qui est la dérivée y, ne saurait être négative.
La dérivée d'une fonction croissante est en général positive.
Cette dérivée pourrait être parfois nulle, car un nombre positif peut avoir pour limite zéro.
En aucun cas, cette dérivée n’est négative.
Exewrze. — Nous avons vu (n° 243) que la fonction | , y —=ÂT —3 est croissante. Sa dérivée (n° 344)
jen
est bien positive.
351. — Décroissance. — Théorème. — Lorsqu'une fonction est décroissante, sa dérivée n'est pas positive.
Soit y une fonction décroissante de la variable æ. Ceci veut dire (n° 210) que y et æ varient en sens inverse.
Donnons à æ un accroissement Ax et soit Ay l’accroissement correspondant de y.
Si, en passant de la valeur initiale æ à la valeur finale æ + Aæ, la variable a augmenté, Ax est positif; mais alors, la fonction, passant de la valeur y à la valeur y + Ay, doit au contraire diminuer, et Ay doit être négatif.
Si la variable diminue, Ax est négatif. La fonction doit alors, au contraire, augmenter, et Ay doit être positif.
En d’autres termes, lorsque la fonction est décroissante, Ax et Ay sont de signes contraires.
Le quotient LL est donc toujours négatif, et, par suite,
sa limite, lorsque Ax tend vers zéro, qui est la dérivée y’, ne peut pas être positive.
La dérivée d'une fonction décroissante est en général négative.
Cette dérivée peut être nulle, car un nombre négatif peut avoir pour limite zéro.
En aucun cas cette dérivée n’est positive.
DÉRIVÉES. 335 ExEmPLE. — Nous avons vu (n° 244) que la fonction VA STAU
est décroissante. Sa dérivée
y est bien négative.
352. — Maxima et minima. — Considérons une fonction y de la variable x et faisons croître æ de — œ à + ; il peut arriver que la fonction varie sans cesse dans le” même sens, aille sans cesse en croissant ou sans cesse en décroissant.
C'est ce qui a lieu par exemple pour la fonction linéaire ax + b.
Nous avons vu, en effet (n° 242 à 214), qu'elle est croissante lorsque a est positif et qu’elle est décroissante lorsque a est négatif.
Mais il peut aussi se faire que la fonction x ne varie pas sans cesse dans le même sens. Il peut arriver que pour une certaine valeur de x le sens de la variation change.
C’est ce qui a lieu pour le trinôme du second degré ; car nous avons vu (n° 302) que pour z— — — le sens de sa variation change. 24 *
Par exemple (n° 302), le trinôme x? + 3x—5 décroît d'abord œ lorsque x croit de — x à — =; puis pour t——" Île sens de sa varia-
C4 = A A LA A . 3 « tion change et le trinôme croît ensuite lorsque x croît de — — à +.
Lorsque pour une certaine valeur de la variable une fonction cesse de croître pour décroître, on dit que la fonction passe par un maximum.
Lorsqu'au contraire, pour une certaine valeur de la variable, la fonction cesse de décroître pour croître, on dit que la fonction passe par un minimum.
. . . 3 » A Ainsi la fonction x? + 3x — 5 cesse, pour x— ——; de décroître pour ; PM 3 croître. Elle passe donc par un minimum pour x — — - et la valeur
de 2 : “ de ce minimum est la valeur — . de la fonction pour x ———. s
353. — Interprétation géométrique. — Les résultats trouvés aux numéros 850 et 351 s'interprètent géométriquement au moyen de l'application du théorème du n° 348.
Traçons (fig. 57) la courbe représentative d’une fonction. Lorsque la fonction croît, sa dérivée est positive .et la courbe monte. Soit M un point d’une portion montante de
Fig. 57.
la courbe. Nous avons vu (n° 349) que la dérivée est en ce point égale à tang «, « étant l’angle de la tangente MT à la courbe avec Ox. Or, puisque la courbe monte, l’angle « est aigu, sa tangente trigonométrique est donc positive. C'est ce qui exprime bien que la dérivée est positive. Lorsqu’au contraire la fonction décroît, la courbe descend. En un point M’ de la portion descendante (fig. 57), l'angle &’ de la tangente M'T' à la courbe avec l'axe Ox est obtus. La tangente trigonométrique, tango’, de cet angle qui est égale à la dérivée en ce point est donc négative. Ainsi la formule
tanga=—1/
DÉRIVÉES. 537 moritre bien que :
lorsque la fonction croît,
« est aigu, tanga—=y>0; lorsque la fonction décroîit, a est obtus, tanga—y"’<o.
En un point où la fonction est maxima, comme le point A (fig. 59), la tangente à la courbe est parallèle à Ox, l'angle « est nul; donc {a dérivée est nulle.
De même en un minimum, tel que B, la tangente est également parallèle à Ox et la dérivée est aussi nulle.
Donc : lorsque la fonction passe par un maximum ou un minimum, la dérivée s'annule en changeant de signe.
354. — Intervalle. — On dit que æ est compris dans l'intervalle (a, b) lorsque æ est compris entre a et b.
Ainsi dire que æ est compris dans l'intervalle (— 3, + 2), c'est dire que l’on à :
