LIL

Dire que æ est compris dans l'intervalle ( —% , a) c’est dire que x est plus petit que a.

Dire que æ est compris dans l’intervalle (a, + œæ) c’est dire que # est plus grand que «4.

355. — Réciproques. — Lorsque la dérivée d'une fonction est positive pour toutes les valeurs de la variable comprises dans un intervalle, cette fonction est croissante dans cet intervalle. |

Lorsque la dérivée d'une fonction est négative pour toutes les valeurs de la variable comprises dans un intervalle, cette fonction est décroissante dans cet intervalle.

Ces réciproques se déduisent des théorèmes des n°: 350 et 351 par un raisonnement par l'absurde.

Supposons, en effet que pour toutes les vsieurs de æ comprises dans une intervalle (a, b), a étant plus petit que b, la dérivée y’ d’une fonction y de x soit positive.

Faisons croitre æ de a à b. Si la fonction ne variait pas, restait constante, soit dans tout l'intervalle où seulement

EN CE ES ED SE PA Er, TS TE ; \ RARE

dans une partie, la dérivée y’ serait nulle tant que y serait constante (n° 343). |

La fonction doit donc varier sans cesse.

Or, elle ne peut pas décroître, car si elle décroissait, ne fût-ce que dans une partie de l'intervalle, sa dérivée ne pourrait pas être constamment positive, car (n° 3514) elle ne serait pas positive tant que y décroîtrait.

La fonction variant et ne pouvant Jamais décroitre, croît sans cesse lorsque x croit de a à b.

On ferait une démonstration analogue dans le cas où la dérivée y’ serait négative pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b.

REMARQUE. — Géométriquement, ces réciproques sont évidentes. Si, en effet, la dérivée y’ est positive, c’est que l'angle « de la tangente à la courbe avec Ox est constamment aigu. Par suite, la courbe monte et la fonction croit.

S1 la dérivée est négative l’angle « (alpha) est obtus, la courbe descend et la fonction décroit.

356. — Application à l’étude de la variation d’une fonction. — De ce qui précède, il résulte que la connaissance du signe de la dérivée suffit pour connaître le sens de la variation d’une fonction.

Pour étudier la variation d’une fonction, on suivra alors la marche que voici :

1° Si la fonction a un dénominateur, on calculera la ou les valeurs de x qui annulent ce dénominateur.

Pour ces valeurs, la fonction devient infiniment grande. On dit qu’il y a une discontinuité de la fonction.

2° On calcule la dérivée.

3° On cherche les valeurs pour lesquelles la dérivée s'annule.

4 On range par ordre de grandeur croissante les valeurs de æ pour lesquelles la fonction est infinie, et cell2s pour lesquelles la dérivée s’annule.

5° On a ainsi formé une suite d’intervalles allant de

— à + æ dans chacun desquels la fonction n’est pas infinie et la dérivée conserve un signe constant.

On cherche alors le signe de la dérivée dans chacun de ces intervalles. Ce signe indique le sens de la variation de la fonction.

Appliquons ceci aux exemples déjà traités.