DRE LE ND
Par suite
: ka'x + kb'k(a'æ +0") Aa + bdinrvsdat 0!
On voit que les deux termes de y sont divisibles par a'æ + b'. La fraction se simplifie et il vient : HET
La fonction y est donc toujours égale à k.
ER Ve Pi Le, | TE tt : RS
360. — Exercice I. — Étudier la variation d'un produit de deux facteurs dont la somme est constante et égale à a.
Soit æ l’un des deux facteurs. L'autre sera égal à a —æ. Leur produit est donc :
y—=X(a— x), ou Y—=AL— 0?
Calculons la dérivée de cette fonction y. C'est (n° 345): V0 AD; , . , s «a , Cette dérivée s’annule pour de elle est positive
a ANT a lorsque æ<- et négative lorsque LD: On a donc le
tableau de variation suivant :
LA
XL y y a , LBa re Pour æ—- la fonction est 2 —— 00 — D maæima et la valeur du maæxti- ai. CrO mum est : a ae — 0 |—(max.) en a\ a? : Â Vis VUE 7 ca décroît + —"00
a À On peut remarquer que lorsque T—- on a aussi
a 2 * a—x—-. Donc la fonction y est maxima lorsque les deux 40) 2
facteurs du produit sont égaux.
Ce résultat s'exprime ainsi :
Un produit de deux facteurs dont la somme est constante, est maximum lorsque ces deux facteurs sont éjaux.
On peut construire la courbe représentative de la fonction y. Pour faire le tracé avec plus de précision, on
remarque que y s'annule pour æ=o et æ —«. Ceci montre que la courbe passe à l’origine O des coordonnées (fig. 58) et coupe en outre Ox au point A d’abscisse a. Le point M
mm mmmm mm mm mm =
Fig. 58.
le plus haut où la tangente est parallèle à Ox, correspond
au maximum 怗 pe. y = mé
361. — Exercice II. — Étudier la variation de la fonction : y—=XS— 3 + 1.
Calculons d’abord la dérivée.
Donnons à æ un accroissement
CRT, 2 Jl en résulte pour y un accroissement Ay=(æ+h)5—3(x+h) +1—(25—3@+ 7x).
Or, on a, en effectuant les calculs :
(x +h}=axs+3hax+3hx+ hs
on en conclut :
Ay=3hx?+35hRæ+h5—3h,
Aya She SR CERN ESR, AZ — h et enfin
AYS LE 2 Ms se?
Faisons maintenant tendre À vers zéro et il vient : y—=3a—3 —3(at— 1). Cette dérivée s’annule pour
LA ou ee jr rh
Lorsque æ est compris entre
EN D 1 À —1 et +1, y est négative. J 4 sque 1s grand que 1 Lorsque x est plus g q Me “de ou plus petit que —1, y est Se Les Dositive.
l — 1 0 3 (Max.) On a alors le tableau ci-contre. FT décroit a +1 o |—1(min.) Pour x=—=— 1, y cesse de croître HA our décroître et passe par un P P ! ns re
maximum 3.
Pour æ—<+1, y cesse de décroître pour croître, la fonction passe par un minimum égal à — 1.
La construction de la courbe ne présente aucune difficulté.
Lorsque æ croît de — à —-1, on a une branche de courbe montante DA (fig. 59) jusqu’au point À correspondant au maximum. æ croissant de — 1 à +1, la courbe redescend de À en B au minimum. Elle coupe l’axe Oy au point C d’ordonnée 1; car pour æ—0o, on a y—=1.
DU
RCE
Enfin, æ croissant de 1 à Ho, on a une branche de courbe montante BE,
Fig. 59.
REMARQUE. — La courbe coupe Ox en trois points. Ceci prouve qu'il y a trois valeurs de æ pour lesquelles y prend la valeur zéro;
C'est-à-dire qu'il y a trois valeurs de æ pour lesquelles On à :
Cette équation a donc trois racines qui sont les abscisses de ces trois points.
$ &. — Théorèmes généraux sur les dérivées.
362. — Résumé. — Nous avons, dans ce qui précède, calculé les dérivées des fonctions les plus simples en appliquant, à chacune de ces fonctions, la définition même de la dérivée. Or, il existe des règles générales qui
LI Vs Je x PA cb € ° , LE 2
permettent d'éviter ces longs calculs. Ce sont quelquesunes de ces règles que nous allons donner.
Mais, auparavant, nous rappellerons deux résultats importants trouvés plus haut et dont nous aurons fréquemment besoin :
La dérivée d'une constante est nulle (n° 343). La dérivée de x est 1 (n° 344).
363. — Dérivée d’une somme. — La dérivée d'une somme de plusieurs fonctions d'une même variable est égale à la somme des dérivées de ces fonctions.
Cet énoncé suppose évidemment que chacune des fonctions admet une dérivée.
Soient u, v, w plusieurs fonctions d’une même variable indépendante æ, leur somme
Y—=U + v +'Ww est évidemment une fonction de la même variable æ.
Supposons que l'on donne à æ un accroissement Aw, en résultera pour uw, v et w des accroissements correspondants (n° 337) Au, Av et Aw.
Ceci revient à dire que les valeurs 2nitiales des fonctions, pour la valeur æ de la variable, étant w, v, w, les valeurs finales, pour la valeur æ+Ax de la variable, sont uw + Au, v + Av, w + Aw.
La valeur initiale de la somme y est la somme u + v +w des valeurs initiales; la valeur finale de y est la somme u + Au + v + Av + w + Aw des valeurs finales.
L’accroissement de y est donc :
Ay = u + Au + v +Av + 10 + Anw — (u + v + w), qui est l'excès de la valeur finale sur la valeur initiale. En simplifiant, il vient :
(1): Ay — Au + Av + Aw.
Pour avoir la dérivée de yil faut, par définition (n° 339),
Là that OC, A, GA PEUT + at Ya, FE
IT a N ; » ii 5 di se \ v * { 5" * { . a
LA
PR A1 ; chercher la limite de lorsque Ax tend vers zéro. Or,
on a, d'après l'égalité (1),
Ay Au Av Aw Ag . Ax AX Aœ
Au Av A » =) — Et — ATMALT AP
tivement vers des limites «u’, v’ et w’ qui sont les déri-
Lorsque Ax tend vers zéro tendent respec-
vées de «, v et.
: A1) S AE Par suite, us Le est leur somme, tend vers une limite À
qui est la somme de ces limites w’ + v'+w'. La dérivée y’ de la fonction y est donc bien :
c’est-à-dire la somme des dérivées.
364. — Dérivée d’un produit. — La dérivée d'un produit de plusieurs fonctions d'une même variable est égale à la somme des produits obtenus en remplaçant successivement dans le produit considéré chacun des facteurs par sa dérivée.
1° Cas de deux facteurs. — Soient w et v deux fonctions d'une même variable #. Leur produit
Y— UV
est évidemment une fonction de la même variable,
Supposons que l’on donne à la variable x un accroissement Aæ, 4! en résultera pour les fonctions w et v des accroissements correspondants Au et Av; de telle sorte que les valeurs 2nitiales des deux facteurs étant « et v, leurs valeurs finales sont u + Au et v+ Av.
La valeur initiale du produit sera le produit uv des valeurs initiales; et sa valeur finale sera le produit (u + Au) (v + Av) des valeurs finales. |
LS be di D, LR. 'EL nl tié ftad ds th AC, | QUE dE 4 Are AR VIENS
348 PRÉCIS D'ALGÈRRE.
L’accroissement du produit y est donc l'excès de la
valeur finale sur la valeur initiale, ou :
Ay=(u + Au) (v + Av) — uv.
En développant le second membre, il vient :
Ay = UV + v : Au + u - AV se Au » AU — uv ou (1) Ay— v : Au + u + AV + Au : AV
: Eye ? A1 Pour avoir la dérivée de y, formons le quotient. en
divisant les deux membres de l'égalité (1) par 4x, et nous obtenons :
Ay »
(2) mt SA ee = + Au -
À 4 Au: Av Lorsque Ax tend vers zéro, les quotients an ee tendent
respectivement vers les dérivées w’ et v’ des fonctions « et
v. D'ailleurs l’accroissement Au tend vers zéro (car sans TC PRET D Se À ps RSS
cela n'aurait pas de limite et croîtrait indéfiniment, ce
à Ay que nous ne supposons pas). Il en résulte que Ag à une
limite y’ obtenue en remplaçant dans le second membre de l'égalité (2) les diverses quantités par leurs limites (n° 338) ce qui donne :
y'—= vu" + uv! + 0", ou finalement y —= VU" + uv’.
Or, vu’ + uv’ est bien la somme des deux produits obtenus en remplaçant successivement dans uv 1e deux facteurs uw et v par leurs dérivées u’ et v’.
2 Cas général. — La proposition étant vraie pour deux facteurs s'étend aisément, de proche en proche, aux cas de 3, 4, plusieurs facteurs.
+ Le à
Prenons d’abord trois facteurs
y = UV.
On peut considérer y comme le produit de deux facteurs uv et w, on a donc, d’après le cas précédent : (3) y'—=(uv) -w +(uv) W’.
Or, toujours d’après ce qui précède,
(uv) = u'v + uv’ donc, en remplaçant dans l'égalité (3), il vient :
y'—={(u'v + uv’) w + uvw’ ou
(4) y'=u'vw + uv'w + uvw,
ce qu'il fallait démontrer.
Examinons encore le cas de quatre facteurs :
y = UVWUS
où u, v, w, s désignent quatre fonctions de æ. Nous pouvons regarder y comme un produit de deux facteurs uvw et s. On a alors, d’après le premier cas, *
(5) y'=(uvw)"s + (uviw)s.
Or, l'égalité (4) donne la valeur de (uvw)', et, en la remplaçant dans (5), il vient :
y = (u'viw + uv'iw + uvw')s + uvws’ ou y'=u'vws + uv'ws + uviw's + uvws’.
Ce qui est bien la somme des produits obtenus en rem-
placant successivement dans le nr uvws, les facteurs vu CLs parleurs dérivées u’,v'w"el’s.
365. Dérivée d’une puissance. — La dérivée d'une puissance s'obtient en la multipliant par son exposant, diminuant cet exposant d'une unité et multipliant le tout par Ia dérivée de la fonction élevée à cette puissance.
Prenons d’abord un cas particulier.
Soit w une fonction de la variable x et
UEEU*
sa troisième puissance. Par définition de la puissance, y est le produit de trois facteurs égaux à « :
