EL TT Y—U RUN EUUUL

On obtient donc sa dérivée en appliquant la règle du n° 364, ce qui donne :

J'=UUU...Uu + UU'U. LI. UU + ..: Æ UUU AOUUS

Le second membre est une somme de m produits. Chaque produit comprend m—1 facteur égaux à uw et un facteur w’. Chacun de ces produits est donc égal à w”-1w/, de sorte que l’on a :

V'= UP AU EUR UE, Eu iu) où y = mu" 1 . y

DÉRIVÉES. 351 366. Dérivée de x”. — La dérivée de x" est max". Il suffit, pour le prouver, d'appliquer la règle précédente au cas particulier où

= TX, On a alors :

URSS Le La dérivée de x" est donc :

mMmLrT1 à (x)— max"! TILL,

367. Dérivée du produit d'une fonction par une constante. — La dérivée du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de la dérivée de cette fonction par la constante.

Cela résulte immédiatement de l'application de la règle du n° 364 et du fait que la dérivée d’une constante est zéro.

En effet, si l’on a :

RENTE a étant une constante et w une fonction de x, on en déduit (n° 364); y'=au +o.u—=aw’, puisque la dérivée de « est o.

368. Dérivée de ax". — La dérivée de ax" est Mar" t, Elle s'obtient en multipliant l'expression par l'exposant de x et diminuant ensuite cet exposant d'une unité.

En effet, la dérivée de x" est (n° 366) mx""1, la dérivée de ax", où a désigne une constante, est égale à la dérivée de x" multipliée par a et, par suite, à Max".

Exeupes. — La dérivée de 5 5 est 3 < 1x2 — 15 x?.

En appliquant la régle precédente on a :

TER EX d'où y —=21 4; 2 a au « »

fais 2 d’où Tu; J Y—= — 2 5 d'où y RE 815, *

I gen F 3 === 45 d'où y —= — = x%?, y 5 y 5

369. Dérivée d’un polynôme entier. — La dérivée d'un polynôme entier est la somme des dérivées de chacun de ses termes.

Ceci résulte de la règle du n° 363.

Les dérivées des divers termes du polynôme s’obtiennent

en appliquant la règle du n° 368 et celle du terme constant est nulle.

ExempLes. — En appliquant ce qui précède on retrouve les dérivées trouvées précédemment :

y—= ax + b ; l'RUHX y—= a + bx + c ; y —=2ax + b.

On à encore :

y—=as+oa—5x+6G ; yY—=3+4z—5 ; Y=AaS + pr + q ; y —=3%2 4 pe.) y—2at—5ar +7x—3 t y—8x5—107+7 ;

RP 2 ; SAONE y=— st -T 7 ; y —=Dxi—<15+-.

370. — Dérivée d’un quotient. — La dérivée d’un quotient est une fraction ayant : 1° pour numérateur l'excès du produit de la dérivée du numérateur de la fraction par son dénominateur sur le produit de la dérivée du dénominateur par le numérateur ; 2° pour dénominateur, le carré du dénominateur de la fraction proposée.

Soient uw et v deux fonctions d’une même variable , et soit leur quotient

Ha IF y

Donnons à æ un accroissement Ax; il en résultera pour les fonctions w et v des accroissements correspondants Au et Av, de telle sorte que les valeurs finales de uw et v seront w + Au et v + Av.

etes (72 La valeur initiale de y étant s' Sa valeur finale sera le

u + Au v + AV

des valeurs finales des deux termes.

quotient

bete un ss. "5

DÉRIVÉES. 993 Son accroissement sera donc (excès de la valeur finale sur la valeur initiale) :