RU + AU
MYDE RADIO UE ou, en simplifiant,
x (u—+adu)v—(v+Av)u v.Au—u.Av AS U (U + Av) Me (0 AU) |
; È A ne :
Pour obtenir le quotient A divisons le numérateur par
Azx et il vient :
AU Av MfU VA Age A v(U+ Av).
, Aw , AV Lorsque 4x tend vers zéro, © et Fe tendent respective-
ment vers les dérivées «’ et v des fonctions « et v: Le
; At numérateur de — AZ
a donc pour limite vu— uv. D'autre
part, Av tend vers zéro (puisque 5. ne croit pas indéfini- #4 ment), par suite le dénominateur a pour limile v.v ou vw.
sa Ai ; s'ÉSR La limite de 7 qui est la dérivée de y, est donc :
y. VW — uv BC remeo read V*
371. — Applications. — La règle précédente permet de calculer rapidement les dérivées de toutes les fractions rationnelles, c’est-à-dire des fractions dont les deux termes sont des polynômes entiers, puisque (n° 369) l'on sait calculer la dérivée d'un polynôme.
L ar b EXEMPLES. — Soit : == LAS a A ax + b BoURLET. — PRÉC. D'ALGÈBRE. 23
ad" à1° Â T4 À À Ée. LPS" L Fr CONS PTE ET DE PA 1" 0 7 a u pr RIT # : *. SSSR * > L é
MTS HV PRÉCIS D'ALGÈBRE.
La dérivée de ax + b est a, celle de a’x + b’ est a’. Donc : , (a'xæ+b')a—{(ax +b)a ab ba CAMES (ax + b'}? (ax + b'}?
On retrouve, plus simplement, un résultat connu. Soit encore :
a? — 5x +6 CRETE se
on à : (x +3)(2x—5)—(22—5r+<6)X7r
es (x + 3ÿ°
ou, en simplifiant :
roi +02
A ere Soit, enfin : | a + 1 JÉSR Vre ù 2 a? + 7 x — 3 Una a (22 +7x—3) ou :
La a — Qu — a — 7 “he (222 + 7x—3) à 372. — Exercice. — Étudier la variation de la fonction
Appliquons la marche à suivre indiquée au n° 356.
1° Le dénominateur de y s’annule pour les valeurs de æ racines de l'équation
Ces racines sont 1 et 2. Pour ces valeurs, y est infinie. Ce sont les valeurs de discontinuité.
2 Calculons la dérivée :
(x?—3x +2) | NES
y RS
ou, en simplifiant, ! 3 8 an À æ J Tai 3x +2)
5 La dérivée s’annule et change de signe pour æ—0 et TC — ee cs)
4° Les valeurs remarquables de x rangées par ordre de grandeur croissante sont :
5° Nous formons ainsi le tableau suivant :
Lorsque æ est plus petit
que zéro la dérivée est néga- À y’ y tive, la fonction décroît. literie Quant æ est compris entre ra 0 4 — décroît :t - la dérivée est positive oet;la dérivée posil . tele GA la fonction croît; mais pour “+ croit x —1 elle devient infinie. : + 20 Elle croît donc du minimum PIE — 1: qu'elle a atteint pour +- croil . ss 4 = 0, JUSQU a ic ; saute 3 0 — ‘9. (mar) brusquement de + æ à — La décroît et croît jusqu’à la valeur — 9 AT 7e 2 CARRIERE : 4 qu'elle atteint pour x — AA e — décroit ASC Ee Lorsque æ croît de - à +®% o )
+ æ, la dérivée est négative et la fonction décroît; mais pour æ—72 elle devient encore infinie en passant brusquement de — æ à + c.
Il reste à déterminer la valeur de y lorsque x est infini.
À cet effet, faisons ce qu'il faut loujours faire en pareil cas et divisons les deux termes de la fraction y par la plus haute puissance de x qui y figure (ici c'est x?) et nous obtiendrons :
3) UE a LAYET Shut 2 J — — = 5 5 DE te 1 I | Lorsque :# croit indéfiniment — et ee tendent vers
séro, le numérateur de y tend vers zéro, le JÉnOMMSSSS
tend vers 1, y a donc pour limite == 0
La courbe représentative (fig. 60) est facile à construire. Lorsque x est très grand en valeur absolue et négatif y, est, très
x croissant de 1
pr se
y croit de — œ à 9 pour revenir à — œ
voisin de zéro et négatif; on à un point À très éloigné à gauche au-dessous de ox et.
voisin de 0x. æ croissant de — à o, y décroit de o à — 1; la branche de courbe AB:
descend au minimumB
(fig. 6o). | Quand x croît de o à 1, y croît de — 1
à + ©; en d’autres termes, lorsque x tend vers 1 par valeurs plus petites, y croît sans limite par valeurs positives; on à une branche de courbe infinie BG qui remonte du minimum B pour devenir asymptote à la droite LE
Dès que x a dépassé la valeur 1, y devient négatif. Pour une va.
leur de æ un peu plus.
grande que 1 on à un.
point D très éloigné dans le bas, puisque.
Je 4
nn NT "+ RU A ':.77 ; be \ NE vds y 4 $ hu + y 7 lai ‘ F4 >> : \
pour æ =». On a donc une branche de courbe DEF qui remonte au maximum E pour redescendre à l'infini asymptote à la droite x — ».
Enfin, lorsque æ dépasse la valeur », y devient infiniment grand et positif et tend vers zéro lorsque x croit indéfiniment. On a donc finalement une branche de courbe descendante IIK asymptote à x = 2 et asymptote à ox au-dessus.
373. — Dérivées d'ordre supérieur au premier. — La dérivée y’ d'une fonction y de la variable x est, en général elle-même, une fonction de x qui admet une dérivée. Cette dérivée de la dérivée est ce qu'on appelle la dérivée seconde. |
La dérivée seconde à son tour admet une dérivée qu'on appelle la dérivée troisième, et ainsi de suite.
Plus généralement :
On appelle dérivée m’°"* d'une fonction la fonction obtenue
en prenant la dérivée de la fonction proposée, puis la dérivée de cette dérivée, et ainsi de suite m fois.
On désigne la dérivée mie d’une fonction 7 en affectant 1 de m accents.
Ainsi y” (qui se lit y seconde) est la dérivée seconde de y.
y" (qui se lit y tierce) désigne la dérivée troisième de UE
y’ est la dérivée première.
Exempzes. — Voici quelques exemples de calculs de dérivées su:cessives :
1° Soit d'abord la fonction : | ya + a —3, ses dérivées sont :
