HU

a désignant une constante. Or ceci est bien l'équation d’un mouvement uniforme. Il résulte de là que

Le mouvement uniforme est le seul mouvement à vitesse

constante. Lorsque la vitesse n’est pas constante le mouvement n'est

pas uniforme.

380. — Diagramme des espaces. — Dans un mouvement rectiligne l’abscisse x du mobile est une fonction du temps t :

La courbe représentative de cette fonction est ce qu’on.

appelle le ‘diagramme du mouvement. Ici la variable indépendante est {, la fonction est x; par suite { sera l'abscisse et æ sera l’ordonnée.

Soit D (fig. 62) le diagramme d’un mouvement rectiligne,

m un point de D, M et P ses projections sur les axes ox et of.

Si l’on imagine que le point P se déplace sur ot d’un

dans le sens positif, avec la vitesse r, c'està-dire de facon à décrire l'unité de longueur dans l'unité de temps, l’ordonnée

successivement les valeurs de labscisse æ du point mobile. Par suite le mouvement correspondant de M sera exactement le mouvement réel du point mobile sur sa trujectoire rectiligne.

Le diagramme d'un mouvement présente plusieurs avantages.

1° Il] permet de construire aisément la valeur de x à chaque instant. Il suffit, en effet, de porter sur ot un segment OP égal à { et l’ordonnée correspondante OM est la valeur de æ à l'instant t.

Le diagramme peut ainsi remplacer, par une simple construction géométrique, le calcul de x par une formule

Fig. 62.

mouvementuniforme,

Pm — OM prendra

ou encore un barême donnant les valeurs de æ pour les

principales valeurs de t.

> Le diagramme rend compte du sens et de la rapidilé du mouvement. Ceci résulte de la proposition suivante : Nous avons vu (n° 378) que la vitesse à un instant donné est la valeur à cet instant de la dérivée x’ de x

par rapport à £. Or, relativement au diagramme, x’ est la dérivée de l’ordonnée x par rapport à l’abscisse t. C’est donc (n° 348) le coefficient angulaire de la tangente mn (fig. 62) au point m correspondant du diagramme D.

11 résulte de là que la grandeur de l'angle qmn, que fait la tangente mn (dansle sens du mouvement) avec la parallèle mg à la direction positive of, renseigne sur la rapidité dn mouvement.

Plus l’angle est grand plus la courbe monte ou descend vite, plus le mobile M se meut rapidement sur ox.

Nous avons déjà étudié (n° 242) le diagramme du mouvement uni-

forme qui est une droite el nous en avons montré l'intérêt (n° 243) pour les graphiques des chemins de fer.

381. — Accélération. — Pour avoir une idée exacte d'un mouvement il faut se rendre compte de sa plus ou moins grande rapidité; il faut, comme on dit vulgairement, savoir si le mobile va plus ou moins vite.

Dans un mouvement uniforme (n° 378) la vitesse est constante, le mobile marche toujours dans le même sens et toujours à la même allure, et il suffit de connaître la valeur de cette vitesse pour avoir une idée exacte de cette allure.

Lorsque le mouvement n'est pas uniforme la vitesse n'est pas constante (N° 379) et pour avoir une idée juste de la nature du mouvement il faut savoir comment la vitesse varie.

Or, le sens de la variation d’une quantité est indiqué par le signe de sa dérivée; nous sommes donc ainsi conduits à calculer la dérivée de la vitesse pour connaître sa variation.

La dérivée de la vitesse est ce qu’on appelle l'accélération.

Si donc nous désignons par j l'accélération et par vla vitesse, on a, par définition,

Dans un mouvement uniforme, la vitesse v étant constante, l’accé lération j est nulle.

382. — Hodographe des vitesses. — On peut définir l'accélération d’une façon un peu différente.

Soit M le point mobile (fig. 63) sur la droite ox et soit v sa vitesse à l'instant {. On représente souvent cette vitesse par un segment MV ayant pour mesure algébrique v et porté par 0x.

Par un point fixe O0’ menons à chaque instant {, le segment om égal au segment MV parallèle et de même sens. Si le mouvement du point M n'est pas uniforme, la vitesse v varie avec { et, par suite, le point m est animé d’un mouvement rectiligne sur un axe 0’v parallèle à l'axe 0.

Fig. 63.

La trajectoire o’v du point m est ce qu'on appelle l’hodo graphe des vitesses du point M.

L'accélération du point M n’est autre chose que la vitesse du point m sur l'hodographe.

Cette nouvelle définition concorde bien avec la précédente, car la vitesse de mest la dérivée de l’abscisse de m, c'est-à-dire la dérivée de v. Elle montre que l'accélération n'est autre chose que la vitesse de la vitesse. On peut alors, à son tour, la représenter par un segment mj ou le segment égal et parallèle MJ porté par ox.

383. — Théorème. — L'accélération d'un point animé d'un mouvement rectiligne est égale à la dérivée seconde de l’absciese du point par rapport au temps.

En effet, l'accélération est la dérivée de la vitesse qui

DÉRIVÉES. 365 elle-même est la dérivée de l’abscisse. L'accélération est donc bien la dérivée de la dérivée de l’abscisse, c’est-àdire la dérivée seconde de l’abscisse.

Exemeces. — Supposons que l'équation d’un mouvement soit : z—3l2—5l<+Li:

La vitesse est : :

et l'accélération est : | ] jp UE T0:

De inême si l'équation est