Dans une voûte demi-cylindrique dont la

section droite est un demi-cercle AMB de rayon r,

A C O F B on peut installer un réservoir parallélépipèdique

Fig. 67. dont la section droite est le rectangle CDEF

inscrit dans le demi-cercle. Pour quelle valeur

du côté CF—2zx du rectangle, le volume du réservoir sera-t-il maximum ? À cet effet on étudiera la variation du carré du volume.

508. D'après les expériences de Hallstrôm le volume v d’une masse d’eau qui à o° a un volume de 1: litre est donné, en litres, par la formule suivante :

VERT 1Hat+bË+cts où £ désigne la température en degrés centigrades et où a, b, €, sont des constantes ayant les valeurs suivantes :

D'après cela, calculer la température pour laquelle le volume » est minimum.

509. Si l'on désigne par T le travail, exprimé en kilogrammètres, qu'un cycliste doit dépenser à la seconde pour marcher dans une descente de pente p à la vitesse de v kilomètres à l'heure, on a la formule moyenne suivante :

Lorsque la valeur de T fournie par cette formule est positive, cela signi-

fie que le cycliste doit pousser sur les pédales ; lorsque cette valeur est

1° En supposant que les dimensions du

Re PP TP

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éd”

Ta LR Us DÉRIVÉES. | 375 négative, cela signiiie que le eveliste doit retenir sur les pédales pour ne * pas se laisser entrainer et maintenir la vitesse ». Ceet posé :

1° Calculer pour les pentes 0,02; 0,03 ; 0,04 et 0,05, la vitesse à laquelle le cycliste marcherait s'il laissait la machine rouler seule (T — 0). 2° Calculer pour les mêmes pentes, la vitesse pour laquelle le travail de

retenue sur les pédales à la seconde est maximum, en valeur absolue. 3° Etudier, pour chaque pente, la variation de T en fonction de v.

510. Retrouver la règle de la dérivée d’un quotient de la façon suivante.

On pose :

vanr ==) on en tire U = UY; ”

on prend les dérivées des deux membres de cette égalité et on en tire y. 511. Démontrer que la dérivée de (1) y = Va, où w désigne une fonclion de x, est :

2 Va A cet effet on déduit de l'égalité (1) celle-ci :

beetle,

on prend la dérivée des deux membres et on en tire y”. Appliquer le même procédé à la recherche de la dérivée de M} — Y=AN/u.

512. Calculer les {rois premiéres dérivées des polynomes suivants :

Y=RS 3x +Ir +1,

Ya Ex LE Gxit 4x 1,

Yy— 2 + 5x hiori+iox?+5x+r,

y—= LT ECx Hi15Tz4 EL 907$ +15 x2 +<CT+ 1.

5143. Montrer que la dérivée {m—+1)ième d'un polynome de degré m” est nulle.

514. En se servant des résultats trouvés dans l'exercice 544, calculer * les dérivées des fonctions suivantes :

y—= Var Er ti, 2608 A Ale D AN mt REX y=2+ Var Ta,

Te

sv Te

515. Calculer les dérivées et étudier les variations des fonctions suivantes y—T i—2? + a,

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