NS COR ET
Varie + 1,9.
L’instant initial est 2" 35" ou 155 minutes.
L’instant final est 1" 15" ou 75 minutes.
L’intervalle de temps £ est (n° 89) :
Le segment qui a pour origine Lyon et pour extrémité le point cherché est e—1, X (— 80) — — 120.
Le résultat est négatif. Le train était donc, à 1° 15", à 120 kilomètres avant Lyon.
99. — Calcul du temps. — Puisque e est égal au produit de v par {, on en conclut que {est le quotient de e par v. On a donc:
Pare (2)
formule qui permet de calculer { connaissant e et v.
Exempze. — Un train, allant de Paris à Marseille par Lyon, a passé à Lyon à midi. À quelle heure était-il à Dijon, qui est à 198 kilomètres avant Lyon? La vitesse du train est de 80 kilomètres à l'heure.
Prenons comme unité de temps l'heure et comme unité de longueur le kilomètre. Choisissons comme sens positif le sens Paris-Marseille.
On à : E——198 v—+80.
ap DE nie {= — SE 2,475.
Le train a passé 2",475 avant midi à Dijon. Or, o",475 valent 28,50 ou 28"30.
Le train a done passé à Dijon à 2" 28" 30° avant midi, c’est-à-dire à 9" 31% 30° du matin.
100. — Galcul de la vitesse. —- Puisque e est le produit de v par £, c'est que v est le quotient de e par {. On a donc :
e es (3) formule qui permet de calculer { connaissant e et v. ExEmPLE : De Paris à Dijon il y a 315 kilomètres. Un train se
trouvait à Paris à 6" 58" du matin et à Dijon à 1° 59® du matin. Quelle était sa vitesse et son sens de marche ?
Prenons pour sens positif le sens de Paris vers Dijon. On a alors: e— + 315,
en prenant comme unité de longueur le kilomètre. Si on prend comme unité de temps la minute, l'instant initial est + 398 et l'instant final + 119. L'intervalle de temps t est :
APPLICATIONS DES NOMBRES ALGÉBRIQUES. ; ME Y on à ainsi : ’ 10 #4 JT re MAT 370 0 STE de
La vitesse est donc de 18,129 à la minute et, comme v est négalif, le sens de marche est de Dijon vers Paris. La vitesse en kilomètres à l'heure est :
1,129 X 60 — 670,740 à l'heure.
104. — Équation du mouvement uniforme. — La formule du mouvement uniforme se met souvent sous une autre forme qu'on appelle équation du mouvement uniforme. |
A cet effet, prenons sur la droite que décrit le mobile (fig. 11) un sens positif et une origine O des abscisses.
Soit M, la position du mobile à un instant {, que nous nommerons instant initial et x, l’abscisse OM, de M.
Mo Ô M ge
Fig, 1r,
Soit M la position du mobile à un instant quelconque t et æ l'abscisse OM de M. Proposons-nous de calculer æ& connaissant {. La position initiale du mobile est M,, sa position finale M: d’après la formule (1) du mouvement uniforme, MM est égal au produit de la vitesse v par l'intervalle de temps qui va de l'instant initial à l'instant final.
Or cet intervalle de temps est (n° 89) —{4,, et on a :-
e= MM = % — %.
On en conclut :
LC —Lo—=V(lt— to). (4) Ce qui s'écrit :
L = Lo + 0 (— to). (5)
C’est là ce: qu’on appelle l'équation du mouvement uniforme.
Dans cette équation, x,, v et {, sont trois données, trois
quantités fixes, ce qu’on appelle des constantes.
Au contraire-æ et { sont des quantités qui varient à chaque instant, ce qu'on appelle des variables.
La formule ou équation (5) permet alors de calculer l'abscisse æ du mobile connaissant t; c'est-à-dire de déterminer, à chaque instant, la position du mobile sur la droite qu'il parcourt.
402. — Mouvement curviligne. — La remarque que nous avons faite au n° 98 s’applique encore ici.
La formule (5) que nous avons établie pour un chemin rectiligne s'applique, sans modification, à un chemin curviligne, car on peut toujours prendre sur ce chemin un point fixe comme origine, choisir un sens positif et compter les distances, à partir de l’origine choisie, positivement dans le premier sens et négativement dans le second.
Exempze. — Un train part de Paris pour Nancy à midi 35 et marche à la vitesse de 66 kilomètres à l'heure. En supposant qu'il marche sans arrêts, former son équation de marche.
Prenons comme sens posilif le sens Paris-Nancy; comme unités, le kilomètre et la minute.
On a : V—+1,1
Car le train fait 1*°,1 à la minute.
L'origine des abscisses étant Paris, on a :
4 = + 35 To 0:
L’équation (5) donne alors :
À quelles distances de Paris sera le train à 2"26, 3"31, 415, 5"25, 556?
Il suffit de faire successivement
pour 52/20/1140 Net on 26 07 Ra
DONNE AT T — L=—=100 0 Arr, 0 1255 — LANCE 2525/4335 T==919 XD b0 4050 — x=855
Comme Nancy est à 353 kilomètres de Paris, il est donc arrivé à Nancy à 5°567.
103. — Calcul de l'instant. — Puisque, d’après la formule (4), æ — x, est le produit de v par {—{,, c'est que t— {, est le quotient de x — æ, par v. On à donc : LE — Lo
» ou = Lo + (6)
0) v Cette formule permet de calculer à quel instant €, le mobile se trouve en un point donné d'abscisse æ.
Exempre. — Le départ de la première étape de la course de voi- Lures automobiles Paris-Madrid a eu lieu à Versailles le 24 mai 1903. La première voiture est partie à 3" 30° du matin et a marché à la vitesse de 105 kilomètres à l'heure. Quelles auraient été les heures de passage de la voiture aux lieux ci-après si elle n'avait pas eu d'arrêts.
Versailles (départ). . . orne Chatelleranit me Pre 6 RanDoule tee Le US L:26:5 PORIGES MR A TERRES TO IUT RECONNAIT, RUE RG CE RM 382 SRATOUR T0 119 ADpOUEMENS Se. #0 DÉHAOIEEEN ES 108 Eibour De SEM AE A NT sie ATO Bordeaux (arrivée). . . 552
Prenons pour sens positif le sens Paris-Bordeaux ;
Pour origine des abscisses le départ (Versailles) ;
Pour origine des temps minuit de la nuit du 23 au 24 mai 1903; pour unités le kilomètre et la minute. On à alors :
Wu FL DHIOUR £ Ti OP el 7100, Er A 147 On à donc: (10 +210 + & X 0,571.
Il nous suffit alors de faire dans cette formule successivement : PO AT = TAN el0 On a ainsi le tableau suivant :
l HEURES DE PASSAGE LRO NS NME NEA HET ER 7 SANS:
PR TM Ne ie) PE gba 28 ANA 19 PORT AR aies, me: 278 A 580 VEUT SCORE 300,28 5 o"17° LNRLET RUN AONER R EEES 332,89 ES dei DONNE Te te 1 97aa8 612" 19" Ras 100. 12 39000 6" 30" 34° DUC ÆE 428,85 Teué OA LE OISE A PA OT TT Le 45343 RES EVE IPTC TI OL Cr. , Sr1,19 SLSrnL 8:
Bordeaux (arrivée). ... . . . . 525,41 8" 45" 25
ÿ Æ. — Détermination de la position d’un point
= 119 \ Pope
MAE An D -
sur une droite par le rapport de ses dis-
tances à deux points fixes de cette droite.
104. — Préliminaires. — Considérons une droite indéfinie et deux points fixes A et B (fig. 12) sur cette droite. Supposons d'abord qu'on ait choisi sur la droite un sens
positif et considérons le quotient des mesures algé-
LE ES" TE —————————— 0 mt
Fig. 12.
briques des segments BM et AM que nous représentons par y:
jai BMS AM
Remarquons d’abord que la valeur de y est indépendante du sens positif choisi; car, si on change le sens positif sur la droite, les mesures algébriques des deux segments changent de signe toutes les deux à la fois et le quotient y ne change pas.
Ilest donc absolument inutile de dire quel est le sens positif choisi sur AB ; ce sens peut être arbitraire.
Si le point M est entre B et À, ces deux segments BM et AM sont de sens opposés et y est négatif.
Si le point M n’est pas entre B et À, les deux segments BM et AM sont de même sens et y est positif.
Le signe du rapport y indique donc si M est ou non entre B et A.
Remarquons enfin que y n’a pas de sens lorsque M est en À. En effet, dans ce cas, le dénominateur AM est nul et une fraction qui a pour dénominateur zéro n’a pas de sens,
Nous examinerons ce cas particulier à part.
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105. — Détermination de la position du point. — A tout point M de la droite AB, autre que À, correspond une valeur de y bien déterminée.
Mais réciproquement, élant donnée la valeur de y positive ou négative, existe-t-il un point M, et un seul, tel que l’on ait |
BM "4 (1) LE
non |
C'est ce que nous allons chercher.
Prenons, à cet effet, sur AB comme sens positif, le sens de À vers B et le point À comme origine des abscisses.
Soit AM
— æ l’abscisse de M,
> up)
— à l’abscisse de B.
On aura (n° 80) BM — AM — AB — x — a; et, par suite, l'égalité (1) s'écrit, dans tous les cas, ét AT
