AL
Le problème est donc ramené à ceci :
y étant donné, trouver pour quelles valeurs de x l’égalité (2) est vérifiée.
Puisque y est le quotient de æ — a par x,
on a :
TZ — à —= YE donc :
DA EUR et aussi :
D YL — '@. (3) Or, en vertu du théorème du n° 48, on a:
L'(i—Y) = LE — YX; l'égalité (3) s'écrit donc finalement :
Si y n'est pas égal à 1, 1 — y nest pas égal à zéro et
cette égalité exprime que le nombre cherché æ est celui qui, multiplié par 1 — y, donne pour produit a. C’est donc, par définition du quotient, le quotient de a par
1 — y. On a ainsi a
On trouve une valeur de æ, et une seule, pourvu que y ne soit pas égal à r.
Or, il n’y a sur la droite qu’un point, et un seul, ayant l’abscisse x, donc:
DE
A toute valeur de y, différente de 1, correspond sur la droite un point, et un seul.
En résumé :
A tout point M correspond une valeur de y et à toute valeur de y correspond un point, et un seul.
On peut donc dire que la connaissance de y détermine le point M sur la droite.
Il y a exception pour le point A et pour y = 1. Examinons à part ces deux exceptions.
106. — Gas où le point est en A. — Lorsque M est en À, le rapport y n’a plus de sens.
Imaginons alors que M, au lieu d’être en A, soit très voisin de A. Si M est très voisin de À, la distance AM est très petite et la valeur absolue de x — AM est très petite.
Si nous considérons alors la fraction æT—a / Pat 4 nous voyons que son numérateur est très voisin de — a et son dénominateur voisin de zéro. Or, lorsque dans une fraction arithmétique le dénominateur est très petit, le numérateur n'étant pas nul, cette fraction est très grande. Ainsi on a :
Li I D AL OS EE RE OO s O,1 0,01 I J 1000 ,.,. > 1] 000000 0,001 0,000001
Plus le dénominateur est petit, plus la fraction est grande.
Si on imagine que le dénominateur devienne de plus: en plus petit en valeur absolue, se rapproche de plus en plus de la valeur zéro, tende vers zéro, la fraction devient de plus en plus grande et croît sans limite, croît andéfinimené.
Ainsi la fraction quand + est assez petit, peut deve-
nir plus grande que n'importe quel nombre. Par exemple elle peut devenir plus grande que 1 000 000 000, car il suffit pour cela que x soit plus petit que
