TE

S air 4 L Si donc nous considérons le rapport quand x est

très petit en valeur absolue, 1l sera très grand en valeur

absolue. ‘ Prenons AB pour unilé de longueur. On à alors a= 1.

Le rapport s'écrit

i CRT ZE —— (2 VE ; pour —— 0,999 LT — 0,001, ON AY= ——— [6 + 0,001, y 0,001 999; © oo1,ona1 SARees + 10 Z — 0 Lis PRES OI A J — 0,001 Ê F49:900 900 JOE=S 0,000001, OM AU ——— © —z— — 1,000 001 de 5 0,000 001,01 4U—=———————-#$ 1000 001, — 0,000 O01I

et ainsi de suite.

On voit que, quand æ est très pelit, y est très grand en valeur absolue, soit positif, soit négatif.

On en conclut que, quand M est très voisin de À, y est très grand en valeur absolue.

À r PE Y de Ole : " ds WT Mans, RL a? » AT nes LL + VEN y eu J ï & ù : : ñ 4

Quand M se rapproche du point À, {end vers À, le rap- «port y CROÎT INDÉFINIMENT en valeur absolue. + à On exprime alors ce fait en disant qu'au point À, y est infiniment grand, et on indique cela par le symbole ce.

107. — Remarque. — L'examen du cas précédent nous a conduit à considérer une fraction dont la valeur absolue croît indéfiniment, c'est-à-dire peut devenir plus grande que n'importe quel nombre arithmétique assignable, si grand qu'il soit. ‘

Or, lorsque cela a lieu, cela peut arriver de deux manières. :

La fraction peut être positive, et alors on dit que la fraction croît indéfiniment par valeurs positives, ce qu'on représente par le symbole + % (qui se lit plus l'infini).

Ou bien, la fraction est négative ; on dit alors qu'elle croît indéfiniment par valeurs négatives et on indique cela par le symbole — (qui se lit moins l'infini). |

Ainsi le rapport y est négatif quand x est très petit et positif, et au contraire y est positif quand x est très petit et négatif.

Quand æ tend vers zéro par valeurs positives, y croît indéfiniment par valeurs négatives.

Quand æ tend vers zéro par valeurs négatives, y croît indéfiniment par valeurs positives.

108. — Cas de y —1. — Nous avons trouvé au n° 105. que æ était bien déterminé chaque fois que y était différent de r. Voyons ce qui arrive pour y= r. On'a : *

a res) rex y

On voit que pour y— 1 le dénominateur de x est égal à zéro.

Nous avons donc encore ici affaire à une fraction dont le dénominateur devient nul. |

Lorsque y prend des valeurs très voisines de la va-

A EN Le a SUER

leur 1, 1: — y est, en valeur absolue, très petit, donc x est, en valeur absolue, très grand.

On peut donc dire qu'à des valeurs de y très voisines de 1 correspondent des points de la droite AB qui sont très éloignés.

Lorsque y tend vers 1, se rapproche de la valeur 1,1 —4y tend vers zéro, se rapproche de la valeur zéro, et x croît indéfiniment.

On peut donc dire que:

Quand y tend vers 1, le point M s'éloigne indéfiniment.

On exprime encore cela en disant que, lorsque y = 1, le point M est rejeté à l'infini.

Quand y est plus petit que 1, æ est positif.

Quand y est plus grand que 1, æ est négatif.

Le point M s'éloigne donc du côté positif ou du côté négatif suivant que y tend vers r par valeurs plus petites ou plus grandes.

109. — Variation du rapport. — Pour mieux nous rendre compte de la correspondance entre les valeurs du rapport yet les positions du point M sur la droite AB, nous allons imaginer que le point M décrive toute la droite AB (fig. 13) dans le sens de A vers B [de gauche à droite sur la figure.

Nous avons vu que l'on a:

PME at I x Ceci peut s’écrire mb id U—=—-—— J d XL ou, comme — — 1, d Œ YU—=Ii——-.

Lorsque le point M décrit la droite dans le sens AB, son abscisse æ va sans cesse en croissant.

BoURLET. — PRÉC. D'ALGÈBRE, 5

a CR a z ‘à donc sans cesse en diminuant et x — x OU y Va

y plus grand que 1 négatif y compris entre oet1 tel A, +2 | —> -1 Q C A B D ne et Fig. 13.

mis en augmentant, car il est clair que plus la partie x due l'on

soustrait de r est petite, plus la différence y est grande.

Le rapport y va donc toujours en augmentant.

Lorsque M est très loin à gauche, æest infiniment grand etnégatif, y est voisin de + 1 (n° 108).

Quand M décrit la portion CA de la droite, y croît depuis la valeur r1,et à mesure qu'il approche de A, y devient de plus-en plus grand (n° 106).

En d’autres termes, quand M tend vers À, y tend vers + ©.

Lorsque M passe par A, le rapport y change brusquement de signe et devient négatif. D'abord très grand en valeur absolue et positif, il devient très grand en valeur absolue mais #égalif. On dit que y saute brusquement de + do à — ©. $

Quand M va de A en B, le rapport est négatif et croît depuis une valeur excessivement grande en valeur absolue et négative, depuis — æ, jusqu’à la valeur o, qu'il atteint quand M esten B.

Enfin, quand M dépasse B, y redevient positif et, M s’éloignant indéfiniment vers la droite de B, vers D, le rapport y tend vers la valeur + 1. y augmente de o à + 1.

La figure 13 résume les résultats.

110. — Remarque.— Lorsque M est au milieu de AB, on ay— —1; dans ce cas, en effet, les deux segments AM et BM sont opposés.

ee

M==pM:

APPLICATIONS DES NOMBRES ALGÉBRIQUES. 67 Il est bon d’ailleurs de s'exercer à reconnaître la position

approximative d’un point lorsqu'on connaît la valeur correspondante de y.

ExemPLes. — Pour y — + 3, le point M est à gauche de À dans la région AC, puisque y > 1 (fig. 14).

Pour y = + = M est à droite de B dans la région BD; car o y < 1. POUR NU — —= M est entre À et B, puisque y < 0.

Nous indiquerons plus loin au chapitre VII, $ 2, une représentation graphique intéressante de la variation de y.