CHAPITRE II
4 4. — Expressions algébriques
411. — Définition. — Nous avons défini dans les chapitres précédents les opérations algébriques fondamentales que l’on peut effectuer sur les nombres algébriques. Ceci posé, rappelons une définition déjà donnée au n° 63 :
On appelle expression algébrique le résultat de une ou plusieurs opérations algébriques non encore effectuées et représentées par les signes conventionnels déjà définis.
Dans une expression algébrique peuvent figurer les éléments suivants : 1° des nombres algébriques ayant des valeurs numériques déterminées; » des nombres algébriques indéterminés et représentés par des lettres.
Rappelons aussi que (n° 64) :
On appelle valeur numérique d’une expression algébrique, pour certaines valeurs attribuées aux lettres qui y figurent, le nombre que l'on obtient en remplaçant les lettres par les nombres et en effectuant les calculs indiqués.
112. — Classification. — On dit qu'une expression est rationnelle lorsqu'elle ne contient l'indication d’aucune extraction de racine portant sur une partie littérale. Elle est irrationnelle dans le cas contraire.
Ainsi abc | Pay 4 2 V3d d 4
est une expression rationnelle, car aucune lettre ne figure sous un radical. Au contrare
Var be + 4a + Vas Es
est une expression irrationnelle.
Comme on n’a défini la racine carrée ou cubique d’un nombre que pour les nombres arithmétiques ou positifs, nous supposerons essentiellement que dans toute expression irrationnelle les quantités placées sous les radicaux ont été choisies positives. Du reste, nous rencontrerons rarement des expressions irrationnelles.
413. — Monômes. — On appelle monôme le produit de plusieurs nombres algébriques.
Ainsi l'expression (—5):a(—3)-.a.4.b.a.2-b
est un monôme.
Il faut remarquer d’ailleurs que dans un monôme les facteurs peuvent être fractionnaires.
Ainsi l'expression
5a* be 3d
est un monôme, car on peut la considérer comme le produit des cinq facteurs
Un monôme qui ne contient pas de facteur littéral fractionnaire est dit entier.
114. — Coeïfficient d’un monôme. — Comme dans un produit de facteurs on peut changer l’ordre des facteurs, on peut écrire dans le monôme
’ (— 5):a.(—3).a.4.b.a.2.b d’abord les facteurs numériques et grouper ensemble les facteurs égaux. L'expression devient (—5):(—3):4:2.a.a.a-b-b.
D'autre part, on peut, dans un produit de facteurs, remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué, l'expression précédente prend alors la forme suivante :
Lorsqu'un monôme entier a été mis sous une forme réduite analogue aux suivantes :
5 ï 120 ab, —5abics, — 5 æbc, V2bc,
on appelle coefficient du monôme le nombre obtenu en négligeant la partie littérale. Les coefficients des monômes précédents sont respectivement
D'où la règle suivante :
Pour simplifier un monôme, on réunit ensemble tous les facteurs numériques en tête du monôme. On en fait le produit qui est appelé eoeffieient du monôme. On groupe de même ensemble les puissances d'une même lettre qu’on remplace par leur produit qui est une puissance de cette même lettre.
415. — REMARQUE. — Lorsqu'un monôme a la forme ete. a? becs, il faut, pour appliquer la définition précédente, le mettre sous la forme (— 1).a2 bcs.
On voit alors que le coefficient est égal à (—:1). De même le coefficient du monôme
a? b? c5 est égal à (+ 1).
116. — Degré d'un monôme. — On appelle degré d’un monôme entier, par rapport à une des lettres qui y figurent, l'exposant de cette lettre dans la forme réduite du monôme.
Ainsi — da b° cs est du second degré par rapport à l’une des lettres a ou b et du troisième degré par rapport à c.
On appelle degré d'un monôme entier par rapport à plusieurs des lettres qui y entrent la somme des degrés par rapport à chacune de ces lettres.
76 | PRÉCIS D'ALGÈRRE. :
Ainsi — 5a*b*c8 est du 2° degré par rapport à a. —. — 4 — —— a et b.
da pe qe — — Abe,
417. — Polynôme. — On appelle polynôme la somme de plusieurs monômes.
Ainsi
ab5 — 3 abc + 7 ab°cs est un polynôme, car il est la somme des trois monômes : ab5, —Gabc, + 7ab*cs.
Les monômes qui composent le polynôme sont appelés les termes du polynôme.
Un polynôme qui n’a que deux termes est un binôme; s’il a trois termes, c’est un trinôme.
Un polynôme est dit entier si tous les monômes qui le composent sont entiers. |
118. — Termes semblables.— On appelle termes semblables dans un polynôme entier des termes qui ne diffèrent que par les coefficients.
Deux termes semblables ont donc même partie littérale.
Ainsi dans le polynôme entier :
} 4 4x5 — 2 aSx + 5 ax — xt — 5 ax, es termes :
} ; 4 axs, + : AUX, — baxs sont semblables.
119. — Réduction des termes semblables. — On sait (n° 32) que dans une somme de nombres algébriques on peut remplacer plusieurs termes par leur somme effectuée; donc on peut, dans le polynôme précédent, remplacer les trois termes semblables par (n° 48) :
(4 + 2 —5)as
-AXS
c'est-à-dire
le polynôme se réduit alors à
— A XS — 20320 — LÀ.
L'opération que nous venons de faire est ce que l'on appelle une réduction de termes semblables.
Remarquons que dans le polynôme réduii, le coefficient
(:) est précisément la somme des coefficients des termes semblables.
2 2 Nous pouvons donc énoncer la règle suivante :
Règle. — Lorsque dans un polynôme entier il y a plusieurs termes semblables, on peut remplacer tous ces termes par un seul qui leur est semblable et qui a pour coefficient la somme des coefficients de ces termes.
120. — Polynômes ordonnés. — Il résulte immédiatement de la définition d’un polynôme que l’on peut écrire ses termes dans un ordre arbitraire. Il y a souvent avantage à choisir cet ordre d’une manière particulière.
Considérons d’abord un polynôme qui ne contienne qu'une seule lettre. Il convient alors, après Ia réduction des termes semblables, d'écrire ces termes de façon que leurs degrés aillent en croissant ou bien en décroissant. On dit alors que le polynôme est ordonné.
Ainsi le polynôme
est ordonné suivant les puissances croissantes de x. Rappelons encore que les termes sont
À; T, + x, * — 5x et que les coefficients sont respectivement 4, cé l, | + I, | — $.
Le mème polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de x est LE — Baht 2 Lx +4.
78 ù PRÉCIS D'ALGÈBRE.
Considérons maintenant un polynôme contenant deux lettres a et x. On ordonne alors les termes suivant les puissances de l’une des deux lettres. Supposons, par exemple, que le polynôme, après la réduction des termes semblables, se réduise à
AL + Li— DS +'oax? + AL — 34? +1.
On peut l'écrire d'abord Lt + ARS — LS Loax? —3L?+AL+Tr.
Remarquons maintenant que (n° 48)
le polynôme peut donc prendre la forme LC +(a—1)2x8+(2a—3) x? +AL+.
On dit alors que le polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes de x et, par une extension du mot coefficient, on dit aussi que le polynôme a pour coetfficients
a (a — 1), (2a—3), 4, te 4921. — Degré d’un polynôme. — On appelle degré
d'un polynôme entier ordonné suivant les puissances de la lettre x l'exposant de la plus haute puissance de x.
Ainsi le polynôme que nous venons de considérer est
du quatrième degré (par rapport à x). Considérons encore l'exemple suivant :
as — 3 ab +3 ab? — b3.
Ce polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes de a et suivant les puissances croissantes de b. Il est du troisième degré par rapport à chacune des deux lettres a et b.
On remarquera que le degré de chaque terme par rapport à l’ensemble des deux lettres a et b est (n° 116) aussi
égal à trois. Le polynôme est dit homogène par rapport aux deux lettres « et b.
122. — Polynômes complets. — On dit qu’un polynôme en æ est complet lorsqu'il contient des termes de tous les degrés, depuis le degré le plus élevé jusqu’au terme constant qu'on peut considérer comme de degré zéro, puisque (n° 62) x°— 1.
Un polynôme qui n’est pas complet est dit incomplet.
Ainsi le polynôme du 4° degré :
24 — 325 + 6x2 — 22 + 5 est complet. Le dermier terme 5 est ce qu’on appelle le ferme constant. On peut le considérer comme contenant la lettre x à l’exposant zéro, car (n° 62) D SN Le polynôme :
est incomplet. Il y manque le terme du second degré et un terme constant,
& 2. — Addition et soustraction des monômes et polynômes.
123. — Addition et soustraction des monômes. — L’addition des monômes a déjà été effectuée dans le chapitre précédent (n° 417), mais, pour grouper ensemble toutes les opérations sur les monômes et polynômes, nous rappellerons ici la règle :
Règle. — Pour additionner plusieurs monômes, il suffit d'écrire tous ces monômes à la suite les uns des autres avec leurs signes.
La soustraction d’un monôme équivaut à l’addition du monôme opposé.
124. — Addition et soustraction des polynômes. — Pour ajouter ou retrancher un polynôme, il suffit d'ajouter ou de retrancher successivement tous les termes de ce polynôme. ŒNCIEE
Ceci résulte du théorème du n° 39.
On voit donc que, pour additionner deux polynômes, il suffit d'écrire tous les termes de l’un des polynômes à la suite de l’autre. |
Ainsi, soit à additionner les deux polynômes
LXi— D +x+i1, X3 + x?— 2% +3, la somme est représentée par (txi— 2x2 Lx +) + (xs +ax?— 20 +3); l'application de la règle donne Ci— + Li HAL —2x +3 et, après la réduction des termes semblables,
a+ LE 93 — x + 4.
Ce polynôme est la somme cherchée.
Supposons maintenant qu'on veuille retrancher du polynôme (x? — 3x + 1), le polynôme (x5 + 6x — 7), c'est-à-dire calculer la différence
(X?—3x +1) — (xs +TGx—5),
D'après la règle précédente et la règle de soustraction des monûmes, il suffit d’additionner au premier polynôme les trois monômes
ab 4 HR 0 T, = ce qui donne :
L—3x+iI—2S— 6% +7, ou bien —XS+x—9x+s.,
C’est le résultat cherché.
425. — Règle pratique. — D'une manière générale, pour faire la somme de plusieurs polynômes, il suffit d'écrire tous les termes de ces polynômes à la suite les uns des autres. On pourra, ensuite, faire la réduction des termes semblables. | |
Dans la pratique, on dispose l’opération de façon que la réduction des termes semblables soit facile.
Les polynômes à ajouter étant réduits, on les ordonne tous, dans le même sens, par rapport à une même lettre. Puis on les écrit les uns au-dessous des autres de façon que les termes semblables soient tous dans une même colonne verticale, et on fait l'addition en faisant la somme des termes de chaque colonne verticale.
Lorsque les polynômes sur lesquels on opère ne sont pas complets, on a soin d’espacer les termes de façon à marquer la place des termes qui manquent dans un polynôme et qui peuvent exister dans un autre.
Exempces. — Soit à faire la somme des polynômes :
x +2? — 1 LS — x + 42° —3 ZT — 4.
On les ordonne et on les dispose les uns au-dessous des autres. On a ainsi l'opération suivante :
a+ T—1 23 + 4x? — x — 3 LA
as + 5x? + x — 8.
Soit encore à faire la somme des polynômes a+ 22" — 325y + y DE Y* Grsy — 5xyS AA y" + 2y4.
Nous disposerons l'opération de la façon suivante, en laissant dans le premier polynôme la place du terme en x qui manque, dans le second polynôme les trois places des termes en x, 4°, x, qui manquent, etc...
ah — 3 x5y + 22° y" + y# z* 2 y* 6ax5y — 5xy5 AVE 29°
avt + 315y + Gr?y? — 5xys + ay.
4 3%. — Multiplication des monômes et des polynômes. — Division d’un polynôme par un monÔôme.
126. — Multiplication des monômes. — Les règles démontrées pour les produits de facteurs (n° 48 et 44) fournissent immédiatement la règle suivante :
Règle. — Pour faire le produit de deux monômes, il suffit de faire le produit de tous les facteurs qu'ils contiennent.
Il résulte de là que :
Le coefficient du produit de deux monômes entiers est le produit des coefficients des deux monômes.
Soit par exemple à faire le produit des monômes entiers : 4AXSy53 SEULE Ce produit est AL y5z 3x? yl.
Si on fait la réduction de ce monôme (n° 414) on trouve successive-
ment 12 225 ya
el 12 2Sy#2l.
C'est le résultat cherché.
127. — Multiplication d’un polynôme par un monôme. — La règle pour faire le produit d’une somme
algébrique par un nombre (n° 48) nous conduit à la règle suivante :
Règle. — Pour faire le produit d'un polynôme par un monôme, on fait la somme des produits obtenus en multi-
pliant successivement chacun des termes du polynôme par le monôme.
ExewpLes. — Soit à effectuer ce produit (ti— x Lox+r)2xt,
PRINCIPES DU CALCUL ALGÉBRIQUE. | 85 Ce produit est égal à
De même on à :
(aë — 2 a2b2 + bt) ab = a$b — 2 a5b5 + abÿ.
128. — Produit de deux polynômes. — Pour faire le produit de deux polynômes, il suffit d'appliquer la règle par laquelle on obtient le produit de deux sommes algébriques (n° 49).
Pour multiplier entre eux deux polynômes, il suffit de multiplier l'un d'eux successivement par tous les termes de l'autre et d'ajouter entre eux les résultats obtenus.
Pratiquement, pour multiplier deux polynômes entiers, on dispose en général l'opération de la façon suivante :
Règle. — On ordonne les deux polynômes, dans le même sens, par rapport à la même lettre.On écrit l'un des polynômes (multiplicateur) au-dessous de l’autre (multiplicande) et on multiplie successivement le multiplicande par tous les termes du multiplicateur. On écrit les produits partiels, ainsi obtenus,
les uns au-dessous des autres de façon à disposer leur addition, comme il a été dit au n° 125 et on effectue cette addition.
Exempce [. — Soit à faire le produit des deux polynômes 4t—a +oas—5 et x +1 —x.
Disposition de l'opération :
Multiplicande 225— n+ 4x — 3 Multiplicateur C— © +15 2L— x+ 41x5— 34° Produits partiels —92t+ x5— 4x + 3x 3045 — 1522 + 607 — 45
. Produit 225 — 3x4 + 3525 — 222? + 63x — 45.
ExemPLe II, — Soit à faire le produit des deux polynômes
AS + ax? + ax + a et T— 4.
Disposition de l'opération :
Multiplicande x5 + ax? + ax + a5 Multiplicateur T —a a* + ans + ax? + aïx — AL — ar? — ax + a* Produit xt é, — 44,
On obtient donc la formule suivante :
at at—= (x — a) (25 + ar? + a? x + a).
1429. — Identités. — On dit que deux expressions algébriques sont équivalentes lorsqu'elles prennent les mêmes valeurs numériques, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui y figurent.
Ainsi les expressions
a(b+c) et ab+ac sont équivalentes.
Lorsqu'on écrit une égalité dont les deux membres sont des expressions équivalentes, on a ce qu’on appelle une identité.
Ainsi les égalités :
sont des identités.
(b + c) — ab + ac, + d) — ac + bc + ad + bd
130. — Identités remarquables. — Chaque fois qu'on fait le produit de deux ou de plusieurs polynômes, on obtient des expressions équivalentes, et, par suite, on peut écrire des identités.
Parmi ces identités, il y en a de remarquables qu’il est
bon de savoir par cœur.
Voici d’abord celles, très importantes, qui ont été démontrées aux n° 49, 50 et 54.
(tx + a}? = 2? + 2 ax + a, (x — a)? — 2? — 2 ax + a, (x + a)(x — a) — x? — a.
En appliquant la règle de multiplication des polynômes, on trouve encore les suivantes :
(x? + ax + a?) (x — a) = 75 — a, (25 +- ax? + a? x + 5) (x — a) —x#— at, (ri + aa + at + a x + at) (x — a) — a — ai, etc (a? — ax + à?) (& + a) = + as, (at — ax$ + a? x? — a8 x + at) (x + à) — x + aÿ.
On les vérifierä sans peine.
nées à à
PRINCIPES DU CALCUL ALGÉBRIQUE. 85 Plus généralement on a l'identité :. DM a (D — à) (AM LE ALL LE GANTS LE + ami),
où m désigne un nombre entier arbitraire.
Pour bien comprendre le sens de cette identité, il faut
d'abord savoir ce que signifie l'expression AMI + AXxMNT2 + a2axm—s + NE ami
qui figure dans la dernière parenthèse.
Lorsqu'on veut écrire un polynôme de degré m, où le nombre entier m reste indéterminé, on ne peut évidemment pas écrire fous les termes puisqu'on n’en connaît pas le nombre. Mais si les termes successifs du polynôme, supposé ordonné, se déduisent les uns des autres par une loi régulière, il suffit, pour indiquer d’une façon précise le polynôme entier, d'écrire quelques-uns des premiers termes, pour faire deviner la loi de succession, et le dernier, et d'indiquer par des points les termes non écrits.
Ainsi le polynôme précédent est celui dont les termes successifs sont æx"71, axm2, àaams, aïx" 4, etc., de telle sorte que, lorsqu'on passe d'un terme au suivant, l’exposant de a augmente d’une unité et l’exposant de x diminue d’une unité. Dans le premier terme l’exposant de a est zéro et celui de x est m—1; dansle dernier, l’exposant de a est m— 1 et celui de x est zéro.
Lorsqu'on craint que le lecteur ne devine pas la loi de formation des termes successifs par la simple comparaison des deux ou trois premiers, on écrit encore ce qu’on appelle le ferme général, qui est un terme quelconque, de rang p—+1 par exemple, et duquel on déduit tous les autres en donnant à p les valeurs o, 1, >, etc. Ainsi, dans
DNA EL ARML L .,, HAPAM PAL ,,, + ami,
le terme général est aPx"-P1, qui est de rang p+r..
ai é Fa | ANT 0 VERRE HUE ÆL-c 4 ' , 4 k F CP os A de PISE
Pour vérifier l'identité annoncée, il suffit de faire la multiplication suivante :
ami L'qamr E Qi E ,.., H aPTLAM EP E QPAM PAL D ami
Vaso
Ds ODA RQ TM BR ONE MAMERTUETANESEE ar — CAM QAR LS UN ne Moee tn = APINEPO RTE am + 0 + 0 DÉTOUR IR UE AE +0 +. ... —a"
Tous les termes se détruisent deux à deux sauf le premier et le dernier. Le terme + aræ"?r, qui provient dela multiplication de aPæ"-r-1 par x, se détruit avec le terme — arx"P qui provient de la multiplication de ar-1zm-r par — a.
En remplaçant, dans l'identité, a par — a, elle doit évi-
demment subsister. Il se présente alors deux cas :
1° Si m est pair, on a : (—a)"—a" et (— a)" 1—— m1, et l'identité devient :
oem — am = (D + @) (AMI — QUE + MS — ,,, — am), les signes + et — alternant dans la parenthèse.
2° Si m est impair, on a:(—a)"——a" et (— a)" 1= m1, et l'identité devient :
DM + a —(T + a) (21 — arme Æ arms — ,,, + am 1),
les signes + et — alternant dans la parenthèse. On peut d’ailleurs vérifier directement ces identités.
REMARQUE. — On dit qu’un polynôme P est divisible par un polynôme R s’il existe un troisième polynôme Q (appelé quotient) tel que le produit de R par Q soit identique au polynôme P.
Ce qui précède prouve que x" — a" est toujours divisible par æ — a et que le quotient est
CAL GMT LL. + am A, Mais æ" — a" n’est divisible par x + a que lorsque m est
pair; et æ"+ a" est divisible par æ+a lorsque m est impair.
