Définition. — On dit que deux équations sont
équivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes solutions, c'est-à-dire lorsque toutes les solutions de l’une satisfont à l'autre et réciproquement.
Ceci posé, la résolution des équations est fondée sur les deux théorèmes suivants qui permettent de remplacer une équation par une équation équivalente.
AY
bah brin " «A fi
1437. — Théorème I. — Lorsqu'on ajoute une méme expression algébrique aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente.
DÉMONSTRATION, — Considérons une équation quelconque A=B (1)
où À et B désignent des expressions qui contiennent une ou plusieurs inconnues; et soit C une expression algébrique quelconque. Il s’agit de démontrer que l’équation (r) est équivalente à l'équation
1° D'abord toute solution de l'équation (1) est une solution de l'équation (2).
En effet, désignons par 4, b, c, les valeurs numériques des expressions À, B, C, quand on y remplace les inconnues par une solution de l’équation (1).
Par hypothèse, on a l'égalité numérique
a=b; de là on déduit évidemment légalité a+c—=b-c;
ce qui prouve que la solution considérée satisfait à l'équation ( 2), puisque cela prouve que les valeurs numériques des deux membres de (2) sont égales lorsqu'on y remplace les inconnues par les solutions de (1)
2° En second lieu toute solution de l'équation (2) est une solution de l'équation (1).
En effet, désignons cette fois par a, b, c, les valeurs numériques de A, B, C quand on y remplace les inconnues par une solution de l’équation (2). Par hypothèse on a légalité :
a+c—=b+c, d’où on déduit l’égalité évidente a=b;
ce qui prouve que la solution considérée satisfait à l'équation (1). Le théorème est donc démontré.
438. — Application. — Ce théorème sert à favre passer un terme d'un membre dans l'autre.
Considérons, par exemple, l'équation {
La
Ajoutons aux deux membres l'expression (— 3%), nous obtenons l'équation équivalente 22 — 5y+6—3y—œ—7.
Nous avons ainsi fait passer le terme 3y d’un membre dans l’autre.
On voit donc que :
On peut faire passer un terme d'une équation d'un membre dans l'autre à la condition de changer son signe.
139. — Conséquence. — Comme on peut ainsi faire passer tous les termes du second membre dans le premier, on voit aussi que :
Toute équation peut prendre la forme
où À désigne une expression algébrique.
140. — Degré d’une équation entière. — Si dans une équation mise sous la forme :
No
À est un polynôme entier par rapport aux inconnues, on dit que l'équation est entière.
Le degré du polynôme A est ce qu’on appelle le degré de l'équation.
Ainsi l'équation
/ z?—3x+2—o est une équation du second degré à une inconnue. L’équation 5 — y IX —Yy +I—=0 est une équation à deux inconnues, du troisième degré en æ, du premier degré en y, et du troisième degré en x et y.
Il faut bien se garder de se prononcer sur le degré d’une équation avant de l’avoir mise sous la forme A —o, À étant réduit. Pour savoir le degré d’une équation il faudra toujours d'abord la mettre sous la forme A —o.
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 101 Ainsi l'équation (& + 1) (2 + 2) at — 5 paraît du second degré parce que les deux membres sont du second degré; mais quand on la réduit, elle s’écrit : 3x + 7 — 0 ; elle est donc du premier degré.
44. — Théorème II. — Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une équation par une même expression algébrique donnée non nulle, on obtient une équation équivalente.
DémoxsrRATION. — Considérons l’équation AD (1)
et soit m une expression donnée (et par suite ne contenant pas les inconnues), 1l s’agit de démontrer que l'équation (1) est équivalente à l'équation (2)
mA—=meB. (2)
1° D'abord toute solution de l'équation (1) est une solution de l'équation.
Désignons par a et b les valeurs numériques de A et B quand on y remplace les inconnues par une solution de l’équalion (1).
Par hypothèse, on a l’égalilé numérique
Cd) et par suite l'égalité ma—m b;
ce qui prouve que la solution considérée satisfait à l’équation (2).
2° Toute solution de l’équation (2) est une solution de l'équation (1).
En effet, désignons cette fois par a et b les valeurs numériques de À et B quand on y remplace les inconnues par une solution de l’équation (2).
Par hypothèse, on a l’égalité :
ma—=mb, et de là on déduit évidemment, puisque m n’est pas nul, l'égalité : d— D:
ce qui prouve que la solution considérée est une solution de l’équation (1). Le théorème est donc démontré.
142. — Remarque. — Si on multiplie les deux membres d’une équation par une expression non donnée, c'est-à-dire
contenant l’inconnue (ou les inconnues), on obtient une équation qui peut n'être pas équivalente à l'équation proposée. Par exemple, multiplions les deux membres de l'équation | L—1—=2X—3
par æ — 4; la nouvelle équation
(@œ—1)(@ —4)—= (2x —3) (x —4) admet bien la solution æ = 2 de l'équation proposée, mais elle admet, en outre, la solution æ —4, qui ne vérifie pas l'équation proposée.
443. — Application. — Le théorème II permet de chasser les dénominateurs d'une équation.
Considérons par exemple l'équation
AT æ J 24,6 nr SE
multiplions les deux membres par le plus petit commun
multiple des dénominateurs qui est 12, nous 6bténons
l'équation équivalente 8x —2 +122 —3x —60+6%, dépourvue de dénominateur.
444, — Théorème III. — Lorsqu'on élève les deux membres d'une équation au carré, on obtient une nouvelle équation qui admet toutes les racines de l'équation proposée, mais qui admet en outre les racines de l'équation obtenue en changeant le signe du second membre de l'équation proposée.
DÉMONSTRATION. — Soit, en effet, A—B (1) une équation; À et B désignant des expressions contenant certaines
inconnues.
Elevons les deux membres au carré et nous obtenons l'équation
AB. (2) Pour toute solution de l’équation (1), À et B prennent des valeurs
. ue , à pute. de, à)
Ve + TT
numériques égales ; il en est donc de même de leurs carrés et, par suite, l'équation (2) est vérifiée.
Inversement, considérons une solution de l'équation (2). Pour ce système de valeurs des inconnues, A? et B? prennent des valeurs numériques égales; par suite A? — B? prend la valeur zéro. Or, on à :
Pour que le produit (A —B) (A+ B) soit nul, 1l faut et il suffit que l’un des deux facteurs soit nul. Si c'est À —B qui est nul, on à : A—B
et l'équation (1) est vérifiée.
Mais si c'est À + B qui est nul, on a A— —B et ce n’est pas l’équation (1) qui est vérifiée, mais celle que l'on obtient en changeant le signe du second membre.
‘En résumé, l'équation (2) n’est pas équivalente à l'équation (1). Elle admet bien toutes les solutions de cette équation, mais elle peut en admettre d’autres qui sont celles de l'équation
A——B, (3) si celle-c1 en admet. Ces solutions de l’équation (3) sont ce qu'on appelle des solutions étrangères qu'il faut écarter.
145. — Application. — Ce lhéorème peut être employé pour rendre entière une équation trrationnelle, c’està-dire une équation dans laquelle les inconnues sont engagées sous des radicaux.
Si l'équation ne contient qu'un seul radical, on fait passer ce radical dans un des membres et tous les autres termes dans l’autre membre. C'est ce qu'on appelle isoler,
le radical. En élevant alors les deux membres au carré on
fait disparaître le radical.
S'il y a plusieurs radicaux, on les isole successivement et on élève plusieurs fois au carré.
Dans tous les cas, l'équation finale obtenue après une ou plusieurs élévations au carré admettra toutes les solutions de l'équation proposée, mais pourra en admettre d'autres.
Il faudra donc toujours avoir soin de vérifier si les
solutions trouvées conviennent à l'équation proposée et écarter les solutions étrangères.
Par exemple, soit l’équation :
Vz +3 =5=—0.
Isolons le radical. Elle s’écrit sous la forme équivalente (n° 437)
RS Élevons les deux membres au carré et nous obtenons la nouvelle équation qui admet la solution unique évidente LA) E23— 02,
On ne peut pas affirmer que cette solution satisfait à l'équation proposée : 1l faut le vérifier. Or, si on fait &—22 dans l'équation proposée, on trouve
| V25 — b —0, ce qui est bien exact.
$ 2. — Équations du premier degré à une inconnue.
146. — Définition. — Nous avons vu (n° 440) comment on définit le degré d’une équation entière. En particulier, on appelle équation du premier degré à une inconnue une équation entière, qui, lorsqu'on a fait passer tous les termés dans le premier membre et toutes réductions faites, prend la forme
ax — b—o, ou la forme équivalente dot (1)
a, b désignant deux nombres algébriques donnés. Avant de discuter cette équation, étudions quelques exemples numériques.
dé Ro: :
PET Nr + MTV : 4
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 105 147. — EXEMPLE 1. — Ramener à la forme (1) l'équation X ER AL 3 Â CORP
et en déduire la solution.
Si on multiplie les deux membres par 24, qui est le plus petit commun multiple des dénominateurs, on obtient l'équation équivalente (Th. IT, n° 141)
L'application du théorème I (n° 137) montre que cette équation équivaut à la suivante :
8x —3æ% —6+ 0, ou DR L'équation proposée étant mise sous cette forme, on voit qu'elle admet une solution et une seule, car elle ex-
prime que x est le nombre qui multiplié par 5 donne pour produit 8. C’est donc le quotient de 8 par 5 :
