ExEMPLE III. — Même problème pour l'équation

d 4E de I #1 SR ARTE TE TA A F

En multipliant les deux membres par 20, on trouve l'équation équivalente

10X — 140 —4L—DbX—4 +.

Si on fait passer les termes en æ dans le premier membre et les termes connus dans le second, on trouve l'équation équivalente

il est clair alors que l'équation donnée est impossible, car il n’y a aucun nombre qui, multiplié par o, donne un produit autre que o.

150. — Les exemples qui précèdent nous conduisent alors à la règle suivante :

Règle. — Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue :

1° On chasse les dénominateurs s'il y en a;

2° On développe les calculs dans les deux membres;

3° On fait passer tous les termes inconnus dans le premier membre et tous les termes connus dans le second.

On parvient ainsi à une équation de la forme GES) dont la solution est évidente.

151. — Discussion. — Revenons maintenant à l’équation du premier degré

at D (D) et supposons d’abord que a ne soit pas nul : a £ 0. Résoudre l'équation (1), c'est chercher un nombre x

qui, multiplié par a, devienne égal à un nombre donné b. Ce nombre est, par définition, le quotient de b par a etil

, , AD + est égal à la fraction 2 Donc, l'équation a dans ce cas

une solulion et une seule, à savoir

Supposons maintenant que a soit nul, mais que b soit différent de zéro do: bo, dans ce Cas l’équation est évidemment impossible (comme dans l'exemple IITI (n° 149).

Enfin, si a et b sont nuls tous deux a—=0o b — O, l’inconnue æ est indéterminée, c’est-à-dire arbitraire, car l'égalité

est vraie quelle que soit æ.

152. — Remarque. — Lorsque dans l'équation ax — b, b étant différent de zéro, a est aussi différent de zéro, il y a une solution; lorsque a est nul, il n’y a pas de solution.

En d’autres termes, quand a devient égal à zéro, la solution disparaît. On peut se demander comment s’est effectuée cette disparition.

Supposons alors que, dans l'équation (1), le coefficient b reste fixe et que a prenne des valeurs de plus en plus voisines de zéro, nous savons que la fraction

devient infinie (n° 106) lorsque « tend vers zéro, donc on peut dire : lorsque b restant constant et non nul, a tend vers zéro, la solution de l'équation (1) disparaît ou s'évanouit en devenant infinie.

Exemrze. — Considérons par exemple l'équation &—a—yx où ao que nous avons déjà rencontrée (n° 405). Elle peut s’écrire x(1—y)—=a et la discussion précédente fournit les résultats suivants.

Si y a une valeur différente de 1, l’équation admet une solution et une seule,

Si y tend vers r, cette solution disparaît en devenant infinie.

Ces résultats concordent bien avec les résultats géométriques déjà signalés (n° 405). ù

453. — Équations qui se ramènent au premier degré. — Certaines équations soit fractionnaires, soit irrationnelles peuvent se ramener à des équations entières du premier degré, en appliquant les théorèmes des n° 141 et 144.

Mais il faut avoir bien soin de ne pas oublier qu'on peut, dans ces cas, introduire des solutions étrangères. Il faudra donc toujours vérifier si les solutions obtenues satisfont bien les équations proposées.

454. — EXEMPLE IV. — Sort à résoudre l'équation T—a L—C æ—b x—\ Chassons les dénominateurs et nous obtenons l’équa-

tion (æ— a) (@ — d)=(æ—c) (x —b)

ou, en développant les deux membres a? — (a + d) x + ad = a? — (b + c) x + bc.

Cette équation est du premier degré, car elle s'écrit (b+Lc—a—d)x—bc— ad.

Sib+c—a—d n'est pas nul, elle admet une seule solu-

tion qui est :

: es bc— ad b+c—a—d Cette solution n’est pas étrangère, car (n° 142), les seules solutions étrangères qu’on aurait pu introduire sont celles qui annulent les dénominateurs, c’est-à-dire æ—b ou HU (.