ExEmPLe V. — Soit à résoudre l'équation

Vaæ—2+Vx+i-3,

Isolons le premier radical (n° 445). Nous obtenons l’équation équivalente

VX 53 Jet r.

Élevons les deux membres au carré et il vient T—2=9—6Vx+i+x+r.

Isolons le second radical en le faisant passer seul dans

le premier membre; nous obtenons

6 Va +1— 12 ou, en divisant par 6,

(ane à

Élevons encore une fois les deux membres au carré et nous obtenons finalement

CHI, d’où ENT Comme nous avons élevé deux fois au carré, nous ne pouvons pas affirmer que cette solution convient à l’équation donnée. Il faut le vérifier. Faisons æ—3 dans l’équation proposée et il vient

Ce qui a bien lieu. L’équation proposée a donc une seule solution æ —3.

REMARQUE. — Si, au lieu de l'équation précédente, on avait proposé l'équation UPS VE Er on aurait été conduit par des élévations au carré à la même équation finale que plus haut.

La solution trouvée æ—3 ne conviendrait pas alors à

cette équation. On peut donc affirmer que cette nouvelle équation n’a pas de solulion,

110 PRÉCIS D’ALGÉBRE. ER

4 3. — Inégalités du premier degré

à une inconnue.

156. — Définitions. — De même qu'on distingue les égalités en deux espèces, les identités et les équations, on peut distinguer dans les inégalités celles qui ont lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui y figurent et celles qui n'ont lieu que si on donne à certaines lettres, appelées inconnues, des valeurs convenablement choisies. Nous désignerons ces dernières inégalités sous le nom d’inégalités conditionnelles.

Donc :

On appelle inégalité conditionnelle une inégalité qui n’est vérifiée que si on attribue à certaines lettres appelées ineonnues des valeurs convenablement choisies.

Résoudre une inégalité, c'est trouver les valeurs qu'il faut donner aux inconnues pour qu'elle soit satisfaite.

Deux inégalités conditionnelles sont dites equivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes solutions, c'est-à-dire lorsque toute solution de l’une est une solution de l’autre et réciproquement.

Des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits ($ 1) dans la théorie des équations permettent d’établir les théorèmes suivants :

1457. — Théorème I. — Lorsqu'on ajoute une même expression algébrique aux deux membres d'une inégalité conditionnelle, on obtient une inégalité équivalente.

Ce théorème permet de faire passer un terme d’une inégalité d'un membre dans l'autre.

Il en résulte que :

On peut mettre toute inégalité conditionnelle sous la forme

À désignant une certaine expression algébrique.

RE AL OS, ni, SR ADS és,

Si À est un polynôme entier par rapport aux inconnues, l'inégalité est dite entière. Le degré du polynôme est le degré de l'inégalité.

158. — Théorème IT. — Lorsqu'on multiplie ou divise lies deux membres d'une inégalité conditionnelle par un méme nombre :

1° Si le nombre est positif, on obtient une inégalité équivalente ;

2 Si le nombre est négatif, on obtient une inégalité équivalente à condition de changer le sens de l'inégalité.

Ce théorème se démontre comme celui du n°14, en tenant compte du théorème du n° 70; il permet de faire disparaître les dénominateurs d'une inégalité.