Cet exemple suffit pour montrer la marche à suivre
Règle. — Pour résoudre une inégalité du premier degré à une inconnue :
1° On chasse les dénominateurs en appliquant le théorème II (n° 158);
90 On fait passer tous les termes dans un membre. On obtient ainsi une inégalité de la forme : ax —b >o. Considérons alors l'inégalité générale du premier degré ax—b>o.
Cette inégalité équivaut à la suivante ax >.
4° Si a est positif, en multipliant par = (n° 158), il vient : «a Cette inégalité, équivalente à la proposée, met les solutions en évidence.
2% Si a est négatif, en multipliant les deux membres de l'inégalité ax > b par - il faut changer le sens. On obtient ainsi
LC < —
qui met la solution en évidence.
$ A. — Équations du premier degré à plusieurs inconnues.
1614. — Deux méthodes. — Les procédés de calcul utilisés pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues peuvent être classés en deux catégories connues sous le nom de méthode de substitution et méthode d'élimination.
Nous allons les exposer successivement en traitant d’abord quelques exemples.
162. — Exemple I. — Considérons d’abord un système tel que le suivant Y—=2X — 17:
Pere
2,6, nl UN NME PT %, WP :
n + : S re, “ L +
dans lequel l’une des équations est résolue par rapport à l’une des inconnues. Dans ce cas, on emploie la méthode
de substitution.
On remplace, dans la seconde équation, y par sa valeur tirée de la première, ce qui donne
JL 2 (2C — 19) — 17 ou 3% — 4x + 26 — 17, et, par suite,
La première équation donne alors, en y remplaçant x par
sa valeur, U—=2°9 — 18 =.
163. — Justification. — Il est très aisé de justifier la méthode précédente. Considérons plus généralement le système suivant ) y—=ax + b, | ML MY, a, b, m,n, p, représentant des nombres algébriques donnés. Concevons une solution (x, y) du système, La valeur + doit évidemment salsfare à l'égalité : | ma + n(ax + b)=p (m+na)x+bn=p,
obtenue en remplaçant y par sa valeur dans la seconde équation donc x est forcément égal à
ou
— bn m+na ; si, comme nous le supposerons, (m + na) n'est pas nul. Alors y est forcément donné par
1 a(p—bn) y=ax + b— mEna + b, ou :
ap+bm. | AT Mm+Ena (2)
Réciproquement, si on remplace, dans la seconde équation du système (1), æ ef y par leurs valeurs (1) et (2), on trouve que cette équation est vérifiée. Donc dans les cas où (mn + na) n’est pas nul, le système (1) admet une solution et une seule définie par les égalités (1) et (2),
464. — Exemple II. — Dans les exemples qui précèdent, nous avons supposé que l’une des deux équations était résolue par rapport à l’une des inconnues y. S'il n'en est pas ainsi, on commence par résoudre l’une des deux équations par rapport à l’une quelconque des deux inconnues.
Considérons par exemple le système
3 sa ar 2 —7 SH 1; 22+y—3—5y—3x +8.
Résolvons la première équation par rapport à æ, comme si c'était une équation à une seule inconnue, nous obtiendrons (n°° 138 et 143) l'équation équivalente :
œ — 61y—5, qui peut remplacer la première. Le système proposé peut donc s’écrire sous la forme équivalente : x —6y—3, RS RE Re
Il a maintenant la forme précédente. Remplaçons æ& par sa valeur dans la seconde équation et elle devient :
On en türe :
2010, ou 4 y — Le On a, alors :
165. — Méthode de substitution. — Les exemples qui précèdent nous suffisent pour pouvoir alors énoncer la règle suivante :
Règle. — Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues :
1° On résout l’une des équations par rapport à l'une des inconnues comme si cette inconnue était seule ;
2° On porte la valeur ainsi obtenue dans la seconde équation;
3° On tire alors de la seconde équation la valeur de la seule inconnue qu'elle contient;
4° On porte cette valeur de l’'inconnue calculée dans la première équation, qui ainsi donne la valeur de l'autre inconnue.
Cette méthode est dite de substitution, parce qu’elle consiste à substituer dans l’une des équations, à l’une des inconnues, sa valeur tirée de l’autre.
