MU
Lorsque a = 1, le problème a toujours une solution, Lorsque a = 1 l'équation (1) devient
(3 aus à À le problème n’a pas de solution.
203. — PROBLÈME XIII. — Lorsqu'on augmente de 5 les deux termes d'un rapport, ce rapport devient égal à 2. Lorsqu'on diminue, au contraire, les deux termes de 5, le rapport devient égal à —- Quels sont les deux termes du rapport?
Soit = le rapport. On a, d’après l’énoncé,
+5 9 y + Fer Œ—5 2
TSX
ce qui donne les deux équations.
IIX—OU—=—1I0 ou 99 ;
Éliminons y (n° 466). Il vient :
Fe x = 13.
Éliminons æ etil vient :
D 00; y = (rl
à 13 Le rapport cherché est +
204. — ProBLÈME XIV. — Deux courriers À et B partent de deux villes distantes de 46 lieues et vont à la rencontre l’un de l’autre. Lorsque À part 5" 3/4 avant B, leur rencontre a lieu 6" 1/8 après le départ de B. Mais lorsque B part 5" 3/4 avant À, leur rencontre a lieu 5" 5/8 après le départ de À. Quelles sont les vitesses de À et B?
Soit æ la vitesse de À, y la vitesse de B., en lieues à l'heure.
Dans le premier cas, À marche pendant 5°3/4 + 6° 1/8,
soit pendant 112; il fait donc æ(ns +?) lieues. De son côté, B ne marche que pendant 6*1/8; il fait dont (6 +3) lieues.
La somme des distances parcourues par ces deux courriers est de 46 lieues.
æ(as +3)+v(6 +3)= 46
Dans le second cas, A marche pendant 5"5/8; ïl
On a donc :
fait donc æ(s +3) lieues, tandis que B marche pendant
53/4 + 5" 5/8, soit pendant 11° à il fait donc y (a + ;)
lieues.
En écrivant que la somme des distances parcourues est de 46 lieues, on obtient :
(545) +u(n +346 8/ Chassons les dénominateurs et nous avons les deux équations :
En résolvant, on trouve :
pus TE ir y —
Le courrier A fait donc 2 lieues 2/5 à l'heure. Le courrier B fait 2 lieues 6/7 à l'heure.
205. — PROBLÈME XV. — Partager 232 en trois parties telles que si on ajoute à la première la demi-somme des deux autres, qu'on ajoute à la seconde le tiers de la somme des deux autres et qu'on ajoute à la troisième le quart de la somme des deux autres, les trois sommes ainsi obtenues . soient égales.
Soient x, y, z les trois nombres.
D’après l'énoncé on a :
LT +Yy+3— 023),
1 Z Œ +3 C+A Ce système s'écrit :
En résolvant, on trouve :
Me o; U— 88; DES 104:
Ce sont les nombres cherchés.
à A. — Variation de Ia fonction linéaire.
206. — Variables. — On dit qu'une quantité est variable lorsqu'elle peut prendre diverses valeurs, lorsqu'elle peut varier.
Une variable est dite indépendante lorsqu'on peut lui donner n'importe quelle valeur, positive ou négative, aussi grande ou aussi petite qu’on le voudra. En d’autres termes, une variable est indépendante lorsque les valeurs qu'elle peut prendre ne dépendent de rien autre.
Nous désignerons, en général, une variable indépendante par la lettre x.
207. — Fonctions. — Une quantité variable est dite fonction d’une autre variable indépendante lorsque sa valeur dépend de celle de la variable indépendante.
Une variable qui est fonction d’une autre est encore appelée variable dépendante de cette autre.
Par exemple, la longueur de la circonférence d’un cercle est une fonction du rayon de ce cercle; le chemin parcouru par un mobile qui se meut avec la vitesse de 4 mètres à la seconde dépend du temps pendant lequel ce mobile a marché, ce chemin est donc une fonction du temps du parcours.
En physique, on rencontre sans cesse des exemples de fonctions. Ainsi, on sait que la longueur d’une barre de fer varie avec la température. Quand on chauffe la barre, elle s’allonge ; quand on la refroidit, elle se raccourcit. La longueur d’une barre de fer est donc fonction de sa température.
Nous’ désignerons généralement une variable dépendante, une fonction par la lettre y.
Dire alors que la variable y est une fonction de la variable indépendante x, c’est dire que l’on connaît, que l’on sait calculer la valeur de y quand on connaît la valeur de %.
Ainsi, si le rayon d’un cercle est x, sa longueur y est donnée par
la formule Yy—2TToUm—-0, 1410;
FONCTION LINEAITRE 155
Donc lorsqu'on connaît æ, on sait calculer y. Par exemple : pour Det at on a y—6",2832, pour RMS ONAMUES10%,8400;
et ainsi de suite.
De même, si on désigne par y le chemin parcouru par un mobile dans le temps æ, à la vitesse de 4" à la seconde, on à : VAT, formule qui permet de calculer y quand on connaît x : pou) 0 ta y 0; DHUONR 2 NON A Una DMDNMT—=) 2, 0h 40 7y=290,/0, et ainsi de suite.
r'é de là :
Il résulte de là que
Lorsqu'une quantité y est fonetion d'une variable x, il existe une formule qui permet de calculer y chaque fois qu'on connaît «.
C'est cette formule qui définit, au point de vue mathématique, la fonction y de la variable æ.
208. — Fonction linéaire. — Les plus simples des fonctions sont celles dans lesquelles y est un polynôme du premier degré en x.
Ces fonctions sont appelées fonctions linéaires.
Ainsi, légalité
(1) = 4 TeN5 définit une fonction y de la variable x. La valeur de y dépend de celle de x. Quand on connaît la valeur de x on sait calculer celle de
y. Or, 4x— 5 est un polynôme du premier degré en æ. La fonction y définie par l'égalité (1) est donc une fonction linéaire.
Donc :
On dit que y est une fonction linéaire de x lorsque y est égale à un polynôme du premier degré en x, c'est-àdire lorsque les valeurs de y sont données par une formule de la forme :
y = ax + b, où «a et b désignent des nombres fixes donnés, ce qu’on appelle des constantes.
Les exemples que nous avons donnés plus haut : la longueur d’une circonférence en fonction du rayon, le chemin parcouru par un mobile en fonction du temps, la longueur d’une barre de fer en fonction de la température, sont des fonctions linéaires.
Au contraire, par exemple, l'aire d'un cercle n'est pas une fonction linéaire de son rayon. Car, si on appelle y l'aire du cercle et x son rayon, On à :
JE VE Aebe EN L A
y est du second degré en x. Ce n’est donc pas une fonction linéaire.
209. — Croissance. — On dit qu’une fonction est eroissante lorsqu'elle varie dans le même sens que la variable dont elle dépend.
En d’autres termes :
Lorsqu'une fonction est croissante, sa valeur augmente, croît, lorsque la valeur de la variable augmente.
Ainsi, la longueur d’une circonférence de cercle est une fonction croissante de son rayon, car, quand le rayon augmente, la longueur de la circonférence augmente.
De même, la longueur d’une barre de fer est une fonction crois-
sante de la température, car, quand la température s’élève, la barre de fer s’allonge.
210. — Décroissance. — On dit qu'une fonction est décroissante lorsqu'elle varie en sens inverse de la variable dont elle dépend.
En d’autres termes :
Lorsqu'une fonction est décroissante, sa valeur diminue, décroît, lorsque la valeur de la variable augmente, croît.
Considérons un cylindre plein d'air et fermé par un piston. Quand on presse sur ce piston il s'enfonce, l'air est comprimé et son volume diminue.
Le volume de l'air emprisonné dans le cylindre est donc une fonction de la pression exercée sur le piston. Cette fonction est décrois-
sante puisque quand la pression augmente le volume diminue.
211. — Remarque. — Il résulte de ce qui précède que pour voir si une fonction est croissante ou décroissante, il suffit de donner à la variable deux valeurs quel-
conques et de regarder quelle est la plus grande des deux valeurs correspondantes de la fonction.
Si à la plus grande valeur de la variable correspond oujours la plus grande valeur de la fonction, cette fonc-
tion est croissante.
Si à la plus grande väleur de la variable correspond, au contraire, toujours la plus petite valeur de la fonction, cette fonction est décroissante.
212. — Théorème I. — La fonction linéaire est croissante ou décroissante suivant que le coefficient de æ est positif ou négatif.
Soit y—=ar + b,
une fonction linéaire. Donnons à æ deux valeurs absolument quelconques x’ et x” et supposons que l’on ait
