OP OB
En premier lieu, l'égalité (2) prouve que si a>0o, æet y sont de même signe. Donc si À est dans l’angle (1) (fig. 21), M est soit dans l'angle (1), soit dans l'angle (3).
S1, au contraire, a << 0, æ et y ont des signes contraires. Donc, si À est dans l’angle (4) (fig. 22), M est soit dans l’angle (2), soit dans l’angle (4).
Dans tous les cas, M est situé dans les angles traversés par la droite OA.
Pour prouver que M est bien situé sur OA, il suffit
PR ui donc de prouver que l’angle POM est égal à l'angle BOA (fig. 21 et 22). Or, ceci est évident, car, d’après l'égalité (3), les deux triangles OBA et OPM ont un angle égal (droit), compris entre des côtés proportionnels : 1ls sont semblables, et on a bien
2e POM= BOX
Le point M est donc toujours sur OA.
La droite OA, étant le lieu des points M tels que leurs coordonnées satisfassent l'égalité (1), est bien la courbe représentative de la fonction ainsi définie.
235. — Cas général. — Considérons la fonction linéare générale y—=ax + b, où b est quelconque.
Considérons alors la fonction y’ suivante :
Nous venons de voir que son graphique est une droite OA passant par l’origine des coordonnées O. Traçons cette droite (fig. 23).
Soit M un point quelconque de coordonnées æ et y, y étant égal à ax + b. Figurons le point M’ de méme abscisse æ et d’ordonnée y’ égale à ax. D’après ce qui précède, M' est sur OA. Les points M et M’ ayant même abscisse sont sur une même parallèle PM à oy, et on a (n° 70) :
MM—=PM—PM=y—Y,
d’où on tire, en remplaçant y et y’ par leurs valeurs : MM — ax +b—ax—b.
Le segment M'M est donc constant et égal à b.
Lorsque æ varie, M’ décrit la droite OA; il en résulte que M décrit la droite BC parallèle à OA déduite de OA . par une translation égale à b et parallèle à oy. En d’autres termes, le lieu décrit par le point M est la parallèle BC à OA menée par le point B de oy tel que
OB=b.
Cette droite BC est la ligne représentative de la fonction. y
236.— Coefficient angulaire. — Il résulte de tout ce qui précède, que le graphique de la fonction linéaire
y—=4aL + b
est une droite.
Les deux nombres a et b jouent deux rôles très différents.
Le coefficient a fixe la érection de la droite; car, quand - a est connu, la parallèle OA (fig. 23) à la droite BC est connue. On peut encore dire que a fixe l'angle que fait la droite avec 0æ; c’est pour cette raison que l’on nomme @ le coefficient angulaire de la droite.
Cette dénomination se justifie d’ailleurs encore mieux par le théorème suivant.
237. — Théorème. — Le coefficient angulaire d’une droite est égal à la tangente trigonométrique de l'angle que fait cette droite avec la partie positive de l'axe ox.
Soit BC la droite qui représente la variation de la fonction
y—= ax + b,
et OA la parallèle à cette droite menée par O (fig. 24). Nous savons que OA représente la variation de la fonction
(1) Yy—=aLX.
En d’autres termes, tout point dont les coordonnées x et y vérifient la relation (1) est situé sur la droite OA.
On dit encore que
l'équation de la droite OA.
Soitalors a l’angle que fait la droite BC ou sa parallèle OA avec la partie positive de l'axe ox.
Si la droite OA est située (fig. 24) dans les angles (4) et (3) l'angle à sera aigu.
Si la droite OA est située (fig. 25) dans les angles (2) et (4) l'angle « sera obtus.
Nous distinguerons donc deux cas.
1° L'angle a est aigu. — Soit alors M (fig. 24) un me de la droite OA de coordonnées æ et y, situé dans l’angle (4), et abaissons la perpendiculaire MP sur ox. Dans le triangle rectangle OPM on a :
MP — OP : tang a
d'où tang =
la relation (1) . est
Or, le point M étant dans l’angle (1) ses deux coordon-
nées sont positives et on à :
ne OUR; v—MEP.
Par suite, (2) tang a?
D'autre part, le point M étant sur OA, la relation (1) est vérifiée et on a :
re En remplaçant - par sa valeur dans (2), on a donc
tang a — a.
> L'angle « est obtus. — Soit alors M un point de OA: (fig. 25), situé dans lan € (2) (1) gle (2), de coordonnées æ et y. Abaissons de ce point la perpendiculaire MP sur 0%.
L'angle MOP du triangle rectangle MOP est alors le supplément de l'angle « et on a, par suite, dans ce triangle : Fig. x
MP =OP : tang (rx —a)——OP tang c, LE MP d'où tang & OP Or, le point M étant dans l'angle (2), son abscisse est négative et son ordonnée positive. On a donc
() MP G) Sn OP
Par suite — tang «.
Le point M étant sur OA, la relation (1) est vérifiée ct on a :
RE
‘à On en conclut, en remplaçant 2 par sa valeur dans la
relation (3), a—=tang à.
On a donc bien, dans tous les cas, a tang «.
Toutes les circonstances générales, annoncées au n° 223, se vérifient alors ici.
Lorsque l'angle « est aigu (fig. 24) la droite BC monte. Le coefficient angulaire a est positif et d’ailleurs, comme nous l'avons vu (n° 219), Ia fonction croît.
Lorsque l'angle « est obtus (fig. 25) la droite BC descend. Le coefficient angulaire «a est négatif et d’ailleurs (n° 220 la fonction décroit.
Enfin, lorsque l'angle « est nul la droite BC est parallèle à ox (fig. 20), elle ne monte pas et ne descend pas : dans ce cas, le coefficient angulaire a est nul.
Ainsi, comme nous l’avions annoncé au n° 223, la ligne représentative de la fonction indique bien le sens de sa variation. Cette ligne monte ou descend suivant que la fonction croît ou décroît.
238. — Profil d'une route. — Considérons une portion d’une route qui soit rectiligne. Imaginons qu’on mène par cette route un plan vertical. Ce plan coupera le terrain suivant une droite et si nous figurons cette droite sur une feuille de papier nous aurons ce qu'on appelle le profil de la route. |
Soit OA (fig. 26) ce profil (nous indiquons le terrain coupé par des hachures). Menons par un point O de la droite OA une horizontale Ox et une verticale Oy. L’angle «
que fait OA avec Ox est l'angle d'inclinaison de la route. On appelle alors pente de la route la hauteur dont on s'élève verticalement lorsqu'on avance horizontalement de 1 mètre.
Prenons sur Ox une longueur OP égale à 1 mètre et élevons en P la perpendiculaire PM. Lorsqu'un piéton va sur la route de O en M, il avance horizontalement de 1 mètre et s'élève de MP. La pente est donc égale à MP.
On voit immédiatement que la pente est égale au coefficient angulaire de la droite OA. Car on a :
l'ig. 26.
MP —OP:tang a—tang a —a, puisque OP — 1.
Lorsqu'on dit que la pente d'une route est de 5°/,, ceci veut dire que, sur cette route, on s'élève de 5 mètre: tous les ro0 mètres ou de 0,05 par mètre. Le coefficient angulaire de cette route est donc 0,05 et l’angle « qu'elle fait avec l'horizontale est donné par
— LA tang « — 0,09.
