CHAPITRE VI
$ 4. — Résolution d’une équation du second degré à une inconnue.
244. — Définitions. — Nous avons vu au chapitre IV que, lorsqu'une équation est entière, on peut faire passer tous les termes dans le premier membre.
De cette façon, après réduction des termes semblables, le premier membre est un polynôme entier par rapport à linconnue +; le second membre est zéro.
On appelle alors degré d’une équation le degré du polynôme, premier membre.
Il résulte de là que :
Une équation à une inconnue x est du second degré si, lorsqu'on a fait passer tous les termes dans le premier mem- bre, ce premier membre est, après réduction, un polynôme du second degré en x.
ExewPe. — Considérons l'équation :
Développons les deux membres; il vient :
T'+Lr—2r—24x?— 2% + 3x —53.
Faisons tout passer dans le premier membre et réduisons, nous avons :
ce qui peut aussi s’écrire, en changeant les signes des deux membres, Z?+2tT—3—0.
Le premier membre est un polynôme du second degré en x, c’est donc une équation du second degré.
198 PRÉCIS D'ALGÈPRE.
245. — Forme générale. — D'après ce que nous venons de dire, une équation du second degré est une équation qui se met sous la forme :
(1) ax? + bx +c—o, où a, b, c désignent des nombres connus.
Si a n’est pas égal à r, divisons les deux membres par a, ce qui est permis (n° 141), et l'équation s'écrit :
b C XL -R+-—o.
de a
e b C Désignons, pour abréger, a Par p et a Par 9- L’équation s'écrit alors :
(2) X? + PX + q—0.
Donc toute équation du second degré peut se mettre sous l’une des deux formes (1) ou (2).
246. — Racines carrées. — Proposons-nous d’abord de résoudre la question préliminaire que voici :
Étant donné un nombre algébrique, positif ou négatif, . trouver tous les nombres positifs ou négatifs dont le carré est éjal au nombre donné.
Il y a trois cas à distinguer :
1° Le nombre donné est positif. — Dans ce cas il a deux racines carrées algébriques opposées. Remarquons, en effet, que le carré d’un nombre positif ou négatif est {oujours positif et égal au carré de sa valeur absolue. Cela résulte de la définition même de la multiplication :
(HS) = EME
Si donc il existe un nombre ayant pour carré un nombre donné positif a, la valeur absolue de ce nombre sera la. racine carrée arithmétique exacte de a, soit Va. Il nya donc que deux nombres, et deux seulement, qui peuvent avoir pour carré a. Ce sont :
+ Va. et Va.
D'ailleurs, ces deux nombres satisfont bien à la question :
(+ Va) =a , (—Va)—a.
Ainsi, 1l y a deux nombres algébriques et deux seulement qui ont pour carré 9, ce sont + 3et— 3.
2° Le nombre donné est négatif. — Dans ce cas il n’existe aucun nombre positif ou négatif dont le carré soit égal à ce nombre; car, comme nous l’avons remarqué plus haut, le carré d’un nombre quelconque est toujours posihf. Il n’y a donc aucun nombre dont le carré puisse être égal à un nombre négatif.
3° Le nombre donné est zéro. — Le seul nombre dont le carré est égal à zéro est zéro lui-même.
247. — Examen d'un cas particulier. — Considérons d’abord l'équation :
Elle s’écrit :
et elle exprime que x est un nombre dont le carré est égal à 4. D’après ce que nous venons de voir, il y a deux nombres, et deux seulement, dont le carré est égal à 4. Ce sont :
LVA— a et A —,
L’équation proposée a donc deux solutions et deux
seulement :
+2 et —2.
Considérons encore l'équation :
ENS | Elle s'écrit :
et elle exprime que x est un nombre dont le carré est égal |
4e Lie » OMS ONCE E A Fr YO 4 rh t FT elle COS
à — 3. Or, comme nous venons de le voir, il n’existe aucun nombre dont le carré est égal à un nombre négatif —3. L’équation n'a donc pas de solution.
248. — Considérons, plus généralement, une équation de la forme :
2° +q—0, où il n’y a pas de terme en +. Elle s'écrit : | D? — — d; et exprime que æ est un nombre dont le carré est égal à T— q:
Il y a donc trois cas :
° S1g est négatif, — q est positif etil ya rs solutions :
+ Si q est positif, — q est négatif et il n’y a pas de solution.
3° Si g—0, l'équation s'écrit :
Po et il n’y a qu’une solution qui est :
Lee 0:
Les mêmes conclusions s’appliqueraient à l'équation : AXi+C=0 qui $e ramène à la forme précédente en divisant par a. 249. — Remarque préliminaire. — Nous avons vu (n° 50) que l’on a :
(x + a) = 2? + 2ax + a.
On voit donc que si on considère l'expression æ? + 2a,
ce sont les deux premiers termes d’un carré, dont le premier terme x est la racine carrée du premier terme x? et
le second terme a est le quotient du second terme 2ax par
le double 2x du premier terme de la racine.
Pour avoir le carré complet, il faut ajouter a?, qui est le
carré du second terme a.
ExEmPLE, — L'expression : x? + 6 x peut s’écrire : ?+ 2:34.
Ce sont les deux premiers termes du carré de x + 3. On a, en effet, (x + 3} — x? + 6x+ 0.
Pour avoir (x + 3)?, il faut donc ajouter 9 à x? + 6x.
De même : æ? + 5x peut s’écrire x? + 2° — x et ainsi on voit que
AE ce sont les deux premiers termes du carré de (+ — ) + Pour avoir SUIS
le carré complet, il faut ajouter à 2? + 5x la quantité (2) n
250. — Premier exemple. — Considérons l'équation : X?+2X—3—=0 que nous avons trouvée plus haut. Elle s'écrit : En DE NE EE VA Le premier membre est formé des deux premiers termes
du carré de æ + 1 et pour avoir ce carré il faut ajouter à ce SA, membre 1?°— 1. Ajoutons alors 1 aux deux mem-
bres de l'équation. Il vient :
Xi+om+i—S+i
ou (@ + 1) — 4.
Sous cette forme, l'équation exprime que æ& + 1 est un nombre dont le carré est égal à 4. Or il y a deux nombres dont les carrés sont égaux à 4 : ce sont + 2 et — 2. On doit donc avoir
Soit : œHi=—o, MOIS: DOTE 3 COL DH à
L’équation a donc deux solutions qui sont : r et — 3.
d’où Line D Ne
251. — Second exemple. — Considérons encore l’équation LIT I —=0:
Elle s'écrit :
Xi LL NU, ou dc? + 2. es I.
I G Or, x? + 2. 2 sont les deux premiers termes du carré de
‘2 += et il faut leur ajouter (:) =; pour avoir le carré
complet.
Ajoutons donc ; aux deux membres de l'équation et il vient :
I I \? I a+uie+() =— 1+- !
1 \2 3 Chers
É 1 Er Sous cette forme, on voit que æ + à devrait être un nom-
ou
. SLT É : :
bre dont le carré serait égal HE ce qui est impossible
puisque -: est négatif.
L’équation n’a donc pas de solution.
252. — Cas général. — Plus généralement, considérons l'équation XL +pe+q—=o.
Faisons passer le terme constant dans le second membre, elle s'écrit :
XL? EDL= =, ou
+2 ba.
