Calculer a'oi( u -h (Oa) et C^C u 4- wp ) ; on trouve
3'a( M -+- Crta) = — c>ï«<«+«a) ^ ,
4 Démontrer la formule
FONCTIONS pUy Snu, CD £/, ÔïkU. Sq
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. DÉFINITIONS DE pu, sum, en m, dnu : PÉRIODES, FORMULES D'ADDITION, VARIATION [FORMULES (41) A (69)].
On appelle fonctions elliptiques toutes les fonctions doublement périodiques qui sont finies et continues, ainsi que leurs dérivées, en tous les points du plan, sauf en certains points où elles devienneîit infinies, mais de manière que leur produit, par une puissance convenable de la variable, reste fini.
Premier point de vue : la fonction pu; premières propriétés. — On obtient très simplement des fonctions elliptiques en prenant la dérivée seconde du logarithme d'une fonction elliptique de troisième espèce. C'est ainsi qu'on obtient, en particulier, la fonction appelée pu ( prononcez /?é m), qui jouera le rôle le plus important dans la suite de ce précis. Il suffit de poser
(40 pa= — !;'tt= — D,Ioga'M= ^~ j^ a.
On aura, en effet, en vertu de la formule (36), (42) p(a-h2w/) = — Ç'(a-^2to/) =— î'a = pM.
La fonction pu admet donc les périodes 20)4, 2(i>2, et, par
suite,
2 /ni 0)1 -h 2 m] (Os,
mi, m2 étant deux nombres entiers quelconques positifs ou négatifs; remarquons, en particulier, la période — 20)1 — 2Ci>2 qui est égale à 20)3.
La fonction pu est une fonction paire et son développement en série, déduit de la formule (38), se présente comme il suit
( 43 ) p a = — -H Cl a* -h C4 M* -t- . . . .
L'origine est un pôle double, et, par conséquent, tous les points du plan définis par les valeurs
a = 2 mi (Ui -h 2 mj lot
sont des pôles doubles. Il n'y en a, d'ailleurs, pas d'autres, comme le montre l'expression déduite de (4i) en fonctions des séries 0.
Nous retrouverons plus loin cette fonction pu^ en nous plaçant à un autre point de vue; mais nous remarquerons immédiatement
que, dans l'hypothèse déjà souvent faite, où iù^ et -4 sont réelles,
il y a une infinité de périodes réelles im^iù^. Il en est encore de même si iù^ et (o^ sont imaginaires conjuguées; car la période 2(0| 4- 2(i>a et ses multiples sont alors réelles.
Racines de la dérivée p'w. —De la relation (42) on déduit
Faisons dans cette relation u = — (o,-; il vient
Or p' u est une fonction impaire (dérivée d'une fonction paire) ; donc
et
Nous connaissons ainsi trois racines de p'w, savoir oi|, coa, W3. Nous admettrons, sans démonstration, qu'il n'y en a pas d'autres, si l'on fait abstraction des multiples des périodes.
Rappel de formules. — L'introduction de la fonction pu
PONCTIONS pu, sn</y cnu, dnu. 4>
permet d'écrire comme il suit les formules (82), (Sg) et (4o)
Ç(a-f-t') — Ç(m — p)— 2Çf =- *^
pw — pp
(4o') Ç(a + t,)=ç„-+-Çp-f. L^ ^.
2 pu — pf
Deuxième point de vue : définition et périodicité de sn u, en a, diiM. — On obtient encore, comme nous l'avons dit au Chapitre II, des fonctions elliptiques en faisant le quotient de deux fonctions elliptiques de troisième espèce, qui ont les mêmes périodes et le même multiplicateur : en effet, soient deux fonctions (f(u) et ^{u), telles que
o(u-j- a) = ec**-^<^ ?(«)i
la fonction |~-~ présentera évidemment les deux périodes a et b.
Dans les notations très ingénieuses de Weierstrass, les fonctions elliptiques, obtenues par ce moyen, sont des quotients de fonctions (3*, désignés par un double indice qui rappelle les indices des deux fonctions employées; ainsi
(44) <^aL^u = -r-
avec la convention supplémentaire que 3*0 </ = du.
Ces fonctions peuvent être substituées aux fonctions de Jacobi dont nous allons maintenant parler; mais ces dernières, outre leur intérêt historique, offrent le grand avantage de ne dépendre au fond que d'un seul paramètre, et, par suite, de se rattacher immédiatement aux Tables numériques de Legendre; elles sont donc à préférer dans les applications numériques.
42 CHàPITRB IV.
Dans ce qui suit, noas désignerons les fonctions par la notation de Gudermann, aujourd'hui universellement adoptée. Si la définition parait compliquée à première vue, les propriétés caractéristiques que nous substituerons à cette définition seront simples, et Ton peut immédiatement dire que les multiplicateurs qui vont être introduits ont pour objet de faire dépendre les nouvelles
fonctions du seul rapport— y ou, ce qui revient au même, de q.
Posons
ou mieux
^-fey^i(o)'
^ = /x = ^eî(o),
les fonctions de Jacobi sont définies par les égalités
l(|)6î(o)^Ki)
cn« =
dna =
On prononce S, n, a; c, n, u; d, n, w('). L'exposant de e, dans les
séries qui définissent les 8, est donc ,,,, ■: dans snu le facteur ff
contient cOf, de manière à faire disparaître le facteur coi qui sera introduit par la dérivée O'(o). Les fonctions snw, cnu,dnu sont donc, par rapport aux périodes (ù^ et 0)2, homogènes et de degré zéro. Par suite des propriétés des 6, on voit que snu est impaire.
(*) Lcgendre et, après lui, Jacobi employaient les notations sinamu = snu, cos amu = cnu, A am u = dn u, qu'on énonce sinus amplitude u, cosinus amplitude Uy delta amplitude u : la fonction 9 = amu {amplitude u) se trouve définie par ics égalités précédentes, puisque sinç = snu.
FONCTIONS pu, snuy CD i/, dtiu. 43
cnu, dnu sont paires, et Ton a
(4/) sn( — w) — — snw, cn(— w) = cnM, dn( — u)=^ânu.
Pour que les arguments des fonctions 6 qui figurent dans les formules (46) augmentent de périodes, il faut que u augmente de périodes, multipliées par y/X. On est ainsi conduit à poser
j oii/X-K =^0î(o), (48)
fiemarque essentielle. — K et K' ne dépendent que du rapport des périodes et, par suite, sont fonctions Tune de l'autre. Elles sont réelles en même temps que (0| et-^-
Périodicité. — Les formules (i5) et (16) nous donnent les nouvelles relations
Isn(M-i-2K) — — sna, cn(aH-aK) =--cnM, dn(w-i-2K) = (inw,
)sn(w-h25iK')= ««na, ^ , cn( WH- •2iK') = — criM,
( dn(i/-i- •2iK') = — «In M.
Il en résuKe que les périodes sont
( Pourdn 2K et 4iK'
Pour sn 4K et liK'
(61) { Pour en 4K et aK-H2«K'
Zéros et pôles. — Les zéros et les pôles résultent immédiatement de la définition (46); il suffit d'en écrire le Tableau, en se guidant sur les formules (19) :
Pôles des trois fondions. a/wK-h (a/n'n- i)tK'
Zéros de sn 2^ i m K 4- a /n' 1 K'
Zéros de cnu (2m -hi)Kh- 7.m' iK'
Zéros de dna {im -i- i)K -f- (2/n'-H i)tK'
Tous ces zéros sont simples : il en est de même des pôles.
Relations fondamentales Des équations (46) tirons 0, -^ >
62 -7=* Os -7=* et portons-les dans la première et la troisième équa-
tion (n) du Chapitre II (*); nous obtenons deux formules; voici le calcul pour la première. Supprimons immédiatement le facteur
xo|(o) e|(^o)
Remplaçons X par sa valeur, que définit Téquation (45), A* et A"' parcelles que définissent les formules (m) du Chapitre II,
-sn*w = 7- -4 en' a.
(^^yes(o)e|(o
HKo) Oî(o;
Il n'y a plus qu'à remplacer ô'(o) par sa valeur tirée de l'identité (5), qui termine le Chapitre II, pour obtenir la première des deux formules suivantes :
( sn'w -H en' M = i, ( A'sn'tt -hdn'w ^ i.
Première formule d'addition de pu. — Nous allons maintenant plus spécialement étudier la fonction pu. Reproduisons la formule (4^'), établie page 4^?
(4o') Ç(u-+-y) = Ça-f-Çp-h -' ^—f
1 pu — pv
et prenons la dérivée des deux membres: nous aurons la première formule d'addition relatii^eà pu
(54) p(u-i-p) = pw -r- ' ^— •
Cette formule, dissymétrique par rapport aux lettres m et v^
(') Nous utilisons ici des formules démontrées seulement dans le texte en petits caractères; on trouvera plus loin une autre démonstration indépendante de celle-ci y mais nous n'avons pas cru devoir attendre aussi longtemps pour faire connaître les importantes formules ( 53 ).
FONCTIONS puy sn«, CD M, dïïu, 45
sera bientôt remplacée par une autre (page 49); mais nous avons besoin d'établir d'abord une équation différentielle à laquelle satisfait pu et qui joue un rôle fondamental dans la théorie.
Équation différentielle de pu. — L'équation (54) donne immédiatement, en échangeant u et ç,
"^ ou pu — pp *^ ôvpu — jiv
ou
Posons d'où il vient
2pu— =- = 2pP -H -7 =- •
'^ dupu — pv '^ ôv pu — pç
pu = z, p' u du =^ dz;
dz â du p'v p'^v
OU dz z — pc *^ z — pv {z — pvy
ce qu'on peut écrire
dz dz
du d du p'v p'^v
z — pvdzz—pv {z—pv)^ (z — pv)^
Intégrons, et désignons par a une constante; nous parvenons à Téquation
2\5— pp/ Z — pv
2 2(3 — PV)^
qu'on peut ordonner ainsi
/dz\*
[d^J =4(^4-a)(5-pp)«-!-2p'i^(^ — pp)-hp'*P.
ç étant une constante arbitraire, on voit déjà que p'u est exprimable par un poljnome du troisième degré en pu. Mais on peut aller plus loin; nous avons, en effet, vu (43) que
pa = — j -+-CjM*H-C4a*-h
On en déduit
p^^u ne renfermant pas de terme de la forme -j;» il ne pourra pas
y avoir dans le second membre de terme en p^M, et réqualion entre pu et sdi dérivée sera finalement de la forme
(55) p'*tt = 4p*" — ^îpw — iS's.
g2 et g2 sont des constantes qui ont reçu le nom A^ invariants de la fonction pu\ leurs valeurs sont
gt^i'ct et ^j=-4c4,
réelles si W| et ^ sont réelles et de même signe; elles ne dépendent que des périodes.
Soient ex, ^2, e^ les racines de l'équation
l'équation précédente peut s'écrire
(55 6w) p'*" = 4(pw — «i)(pM — «j)(pw — «s)-
Corollaire I. — D'après cette équation, les racines de la dérivée s'obtiendront en annulant un des trois facteurs du second membre; or on a vu (page 4o) que ces racines étaient (0|, (02, cdj. On aura donc, en faisant correspondre provisoirement les indices,
(56) ei = pwi, c, = p(Di, ej = p(03
ou, plus généralement, en désignant par (Oy une demi-période quelconque,
{56 bis) et^poij («,7 = 1,2,3).
FONCTIONS pUf SnUy CflM, dïïu. 47
Remarque, — On voit aussi que C0|, 0)2, 103, aimulant la dérivée, sont des zéros doubles pour Féquation
nous montrerons bientôt que ces facteurs pu — ea sont effectivement des carrés parfaits.
Corollaire If. — On déduit de Péquation (55), par une dérivation, ,
(a) 2p'M = r2p*M — gt'
Toutes les dérivées d'ordre pair s'exprimeront donc en fonction de p a et de ses puissances, toutes les dérivées d'ordre impair par des expressions analogues multipliées par p^u.
Problème inverse. Expression des puissances de pt^ en fonctions linéaires de pu et de ses dérivées. — La formule précédente et celles qu'on en déduit par des dérivations successives permettent inversement d'obtenir les différentes puissances de pe^ en fonctions linéaires des dérivées et, par conséquent, de
calculer les intégrales de la forme j p^udu. Ainsi, en dérivant
deux fois de suite la formule (a) écrite comme il suit
on obtient, en supprimant dans l'écriture la lettre u^
4PP = T.p , 4p'* + 4pp'- 3P^^
D'autre part, on a (55)
(c) p'*=4p»— ^jP — ^3.
Il ne reste qu'à éliminer p'^ et pp'^ entre (a), (6) et (c) pour avoir p'; récrivons la formule (a) ainsi
(a) 2pp'=i2p»— ^«p.
48 CHAPITRE lY.
D'abord pp'^ entre (a) et (é)
puis, à cause de (c),
d'où
et
De même, en différentiant deux fois la formule (d)^ nous intro-. duirons p* par la substitution de 4p^ — g2P^= gz à p'*,
3p«p'+6pp'«= A^,p'+i-p..;
d'où, en tenant compte de {a) et de (c),
!3p'(^6p»a-i^,)+6p(4p»-^,p-^3)=^^ay+7^p", ^ 4'îp*w = g^i-H6^3P-H-^^jp'-H T^P''»
et ainsi de suite.
Définition d'une notation. — Une équation différentielle telle que (55) ou (55 bis) pouvant servir à définir la fonction pa, si l'on choisît parmi les intégrales de l'équation celle qui est infinie pour w = o, on conçoit souvent p u comme ainsi définie, ce qu'on rappelle en écrivant p(m; ^2, g^s) ou p(w; ei, ^2? ^a)» Lorsque nous voudrons rappeler que pu est définie par ses périodes, nous écrirons p(w; W|, 0)2).
FONCTIONS puy snt/y c^iïUy àïiu. 49
Deuxième formule d'addition des pu. — Nous pouvons maÎDlenant établir la formule d'additioa symétrique que nous avons annoncée page 43. Nous étions parvenus à l'égalité
'^ '^ 7. au pu — psf
'" '1 pu — pv 1 ipu — pv)*
Changeons u en {> et v en u : l'égalité nouvelle
^^ '^ ' 2pU — pV 2 (PW — P^)*
ajoutée membre à membre à la précédente, nous donne - I p'v — p'u I (p'u — p'vY
^^ '^ '^ 2 pu — pP •! {pU — pV)^
Or, à cause de la relation (a),
p'^v — p'u = 6(p*t» — p*w) = — 6(pu — pv)(pu-h pv). Donc enfin, après simplifications,
Telle est la formule que nous avions en vue.
Théorème. — Les /onctions \Jpu — e^ sont uniformes.
Nous allons maintenant justifier la remarque de la page 47 en donnant la valeur effective de \^pu — ea. Dans la formule (3a), posons (^ = a>a; elle devient, en tenant compte de ce que pu = — Djlogia'w,
(ï(u-^iû^)<^{ u — Wa) pu — eof = 1 : •
Mais, à cause de la formule (29),
G'(a — (1)31) = o'(m -h Wa— 2a)a) = — e-*^a^"+«^a-Wa^3'(w H- (Ogi); donc
5o CHAPITRE IV.
Le second membre est un carré parfait \ nous pourrbns en extraire la racine, et, si nous nous reportons aux formules (3o) et (22), nous pourrons écrire la série d'égalités suivantes que nous grouperons sous un même numéro :
(.8) /pa-e«= ^^^^^^ = =„__^.
Le théorème est donc démontré. On volt que le signe de
\/p u — Coi une fois choisi ne redeviendra pas indéterminé, le second membre étant une fonction monodrome de i^; la détermination à prendre sera celle qui donnera au premier membre, pour u infiniment petit, la même valeur principale - qu'au second.
Remarque, — 11 résulte de la formule (58) que, si les constantes (i)| et -T* sont réelles et de même signe, pu reste supérieure à la plus grande des racines et, ^3, 63.
Corollaire, — Dans la formule (^), écrivons m + w^ au lieu de u ; nous obtenons l'équation
p(a-+-wa) — Ca =
e-ltlafa+WJcr^fa -H 9.0),)
qui, à cause de (29), peut s'écrire
e-îr,Qj(a-4-a)a^ 0^ U e*^ft(»+<«>a>
En multipliant {g) et (A), membre à membre, on obtient
Le premier membre est donc indépendant de m; on obtiendra du second membre une forme plus commode dans les applications en donnant à u une valeur particulière; nous choisirons la valeur cop. Comme a>a-f-a>p = — (Oyetquep( — Wy) = pwy = e^, l'égalité (/r) deviendra
FONCTIONS pu^ snuy ctiUy (Ine/. 5i
par comparaison de (A:) et de (/) nous parvenons enfin à l'équation
(59) (pw — Ca)[p(M-4-Wa) — ea] = (ep— ea)(ey— ^a),
qui nous sera des plus utiles dans les applications.
On peut arriver au même résultat par une autre marche; la formule que nous avons déduite de (89) par l'échange des lettres u elv peut s'écrire, avec les notations actuelles,
pu — pv pv
Si l'on fait v = 0)»» p^ devient Ca] mais les deux termes du second membre s'annulent, le dénominateur d'après ce que nous avons dit, page 4o? 'e numérateur parce que, en vertu de la formule (36),
Il faut donc appliquer la règle de L'Hôpital, ce qui donne, en dérivant par rapport à r.
I p(m -f- a>5i) -4-p(M — Wx") — siptu-ï
pu — eoi" p'oia '
OU, à cause de la périodicité de pa,
ï 9ip(u-\- (jiy^) — o.e^
pu — eai ~" P'wa
Il en résulte
(m) (pw — ^a)[p(w-t-wa) — ^a]= ^^•
Le rapprochement des équations (5g) et (m) donne l'intéressante formule
(n) i P'wa=(«p — ea)(ey— Ca).
Relations entre les carrés de trois fonctions ^. — L'équation (58) peut s'écrire
o'î u 3*1 M (flu
pu = ei-{- -J-- = ej-t- -7- = ej-+- --^.
On en déduit les relations
parmi lesquelles il est évident que deux seulement sont indépendantes.
Relations entre les carrés de trois fonctions 0. -— Il suffit de remplacer, dans les formules précédentes, les fonctions rf par leurs valeurs tirées des équations (22) ; on trouve ainsi
O'»(o) "^Oî(o) eî(o)-^»
es — g| A, QJM 6^ tf
ô'*(o) "^e|(o)"eT(^~^'
Dans la première de ces équations, faisons u = tùi] elle devient Or, des formules (17) on déduit, en y faisant m = o,
donc
Cl), = 61(0), 6,a>i = e,(o);
^'^ '^"-'*-o|(o)eî(o)-
Cette formule et les suivantes résulteraient aussi de la comparaison entre les formules (61) et les équations (n) du Chapitre II.
De même, dans la deuxième équation (61), faisons u = (ù2] elle devient
FONCTIONS pu, snu, CtïU, dïïU. 53
Or, les formules (i8) nous donuent, en y faisant a = o.
e,w,= q ^61(0); donc
Enfin, dans la troisième équation (61), faisons usstoj; elle devient
Or, les formules (17) et (18) combinées nous donneront, en faisant dans les premières i^ = C02 et dans les secondes i/ = o,
6(0)3) = 0(— wj— ti)i) = — 6(0), -+-0),) = — 0,(0),) = y ^63(0),
i 6,(0)3) = 0,(0)1 H- wj) = — 60)1= t^ *6j(o); donc ia\ « ^ - 0}(o)e'«(o)
^^^ "'"■'*"~o}T^)-oI(^)-
Corollaire. — En additionnant membre à membre les trois équations (o), (p), (q), on obtient la relation
(r) e}(o) + ej(o) = ej(o),
déjà obtenue page 23.
Expression de «a en fonction des 6. — En retranchant membre à membre deux quelconques des équations (o), (/>), (g) et tenant compte de ce que e, + ei + 6» = o, on trouve
[O Mo) + «Ko)]e''(o)
[6}(o)-9Ko)16''(o) '" 05(0)61(0)61(0)
Oq volt ainsi que €{, e^, e^ sont nécessairement réelles lorsque
les fonctions 8 ont été construites avec des constantes W| et —^
réelles et positives. De plus, e^ est nécessairement positive, (?2 négative, et l'on a
Des valeurs de ^i, e^, e^ ou mieux des formules (o), (/>), {q)y on déduirait facilement^ s'il en était besoin, les invariants g2} ff^ et le discriminant A.
Rapprochements entre diverses constantes. Introduction, des ea dans la définition de sn, en, dn. — Nous avons posé (45)
D'autre part, on vient de voir (o) que
__ e î(o)r«(o ) ' *"^eî(o)eî(o)-
Or, il résulte de la formule (s) qui termine le Chapitre II que les deux seconds membres sont égaux dans les équations précédentes ; d'où plusieurs conséquences :
I® Formules plus simples pour remplacer (o), (/?), (q), (5),
de même
3e.=-(^)'[et(o) + e5(o)],
3^3= (^)*[0}(o)-et(o)].
2° Les formules qui définissent snu, cnu, dnu sont aussi
FONCTIONS pu^ sn//y cauy dau. 55
modifiées (nous n'écrirons que les deux premières),
'il
ia = /^r::^ ^^'-"' Ji^, = -i?i:iLfi
Ct •
3** Les équations (48) peuvent s'écrire
(48') u>t= , > cu,=
4° En comparant les formules qui viennent d'être écrites avec les équations (m) du Chapitre TI, on trouve
(62) )tî=fiZlf!, )t'»=^i^:i^*;
d'où résulte la relation déjà remarquée au Chapitre II,
(62615) ^«-hA:'»=i.
Il importe de remarquer que, dans les mêmes hypothèses faites constamment, savoir (0( et -4 réelles, ce qui entraîne ei, e^^ e^ réelles et e^ > c^^ e^^ les deux modules sont réels et inférieurs à Funité.
Relation entre pw et snw. — La relation cherchée résulte immédiatement de l'équation (46') combinée avec (58),
(63) 8na= ^'^"^*
V V «1 — Cî
Cette même équation, résolue par rapport k pUj donne en écrivant w, au lieu de -
v/tfi — e,
(63 6m) pu = ei-h * *
n*M /ei — cj
Équations différentielles auxquelles satisfont snu, cnu, dnu. — Il suffit de porter dans l'équation (55 bis), que je trans-
56 CHAPITRE lY.
cris de nouveau,
p'«a = 4(pa — e,)(pM- et)(pM — «»),
la valeur de pu, tirée de (63 bis)y
, lies — e^) y/e, — e^ sn'(a \/ex — 6%)
sn^u^ei — ei
4(e.-..)»sn'.« ^ /^ \^/^£^-£»y
sn^u \sn*a / sn-a \sn'a ^i — «i/
J'ai écrit dans la dernière équation u au lieu de u^/e^ — ej-, il n'y a plus qu'à tenir compte de la première équation (62) pour obtenir l'équation cherchée
(64) sii'»a = (i--sn«M)(i — A:«sn«a).
Si Ton se reporte aux équations (53), on verra que cette équation peut s'écrire, en choisissant les signes après l'extraction de la racine carrée de manière que les deux membres aient pour limite -f-i lorsque u tend vers zéro,
(05) = en M an a,
du
à laquelle on peut adjoindre les deux formules obtenues par la différentiation des équations (53)
dcnu
— : — = — snuanu, 1 au '
oanu ,.
— q — = — A:* sn M en a.
ou
Remarque, — Le système de trois équations différentielles que nous venons d'obtenir est souvent considéré comme définissant les fonctions elliptiques de Jacobi; il suffît d'ajouter les conditions initiales, à savoir que, pour w = o, on aura
sna = o, enu = i, dna = i.
Formules d'addition des fonctions elliptiques de Jacobi. —
Ce serait ici le moment de donner ces formules qui résultent immédiatement de la formule (57) et des relations déjà établies; mais ces formules d'addition ne devant pas nous servir, nous en laissons
FONCTIONS j>Uy sntt, CH «, dn M. 57
la démonstration comme exercice aux lecteurs {voir à la fin du Chapitre). On en trouvera d'ailleurs plus loin une démonstration plus élégante.
Variation de pu dans le cas oit u et pu sont réelles.
Considérations générales. — Nous avons vu que la fonction pu satisfait à Téquation différentielle (55)
(55) P'*" = 4P'" — ^îPw — ^3,
dans laquelle les invariants g^ et gz dépendent des périodes données 2(i)| et 2a>2; mais la réciproque n'est pas absolument évidente, et, s'il est assez facile d'admettre, comme d'ailleurs on le démontre dans tous les Cours d'Analyse, que l'équation
(a) (^ =^z^-'gtZ — gi=Z
définit une fonction 2 de </(*), il est moins évident que, quelles que soient les valeurs attribuées à g^ etg^s, cette fonction z sera une fonction doublement périodique. Pour ne pas* compliquer notre étude, nous admettrons ce théorème qui est démontré dans les Ouvrages plus importants, et nous nous bornerons à deux observations : d'abord, le théorème est probable, puisque, définie par les fonctions ou par une équation différentielle, la fonction pu dépend toujours au fond àe deux constantes arbitraires, ses périodes ou ses invariants. La seconde observation est la suivante : nous allons rencontrer dans la discussion une période réelle 2a>< et une période imaginaire pure 2(1)2; si l'on essaye de construire avec ces périodes une fonction 8 pour en déduire une fonction pu, la fonction pu ne coïncidera avec celle déduite de l'équation différentielle (55) ou (a) que si le discriminant ^ = g\ — ^lg\ ^st positif, en d'autres termes, que si les racines e\ , ea, e^ sont réelles. Cette restriction ne doit pas nous étonner; nous avons vu, en effet, page 54, que les périodes réelles conduisent nécessairement
/dz —py et /Z la solution générale de (a) est z =p(M-hc).
58 CHAPITRE lY.
à des racines réelles. Dans le cas du dîscriminanl négatif, la fonction 8, d'où l'on déduirait une fonction pu coïncidant avec celle que fournit l'équation (a), devrait être construite avec deux constantes imaginaires conjuguées aw et 2(0', définies par les relations >!^* ,
On distingue ces deux cas en disant que, dans le premier, les périodes sont primitives ; dans le second cas, les périodes ne sonl pas primitives.
Variation de pu. — Quoi qu'il en soit de ces considérations préliminaires, nous pouvons continuer à supposer que pu est définie par l'équation (40» *^ nous suffit d'avoir démontré qu'elle vérifie l'équation difTérentielle (55) que nous écrirons aussi
-X'tI
en posant, pour abréger, z = pu : les limites ont été choisies de manière que u = o corresponde k z = co.
Il n'y a pas besoin, pour le moment, de distinguer le cas du discriminant positif et celui du discriminant négatif; nous nous bornerons à supposer
ci>ej>eï,
si les racines sont réelles et e^ réelle si le discriminant est négatif. Les invariants ^2, g^ sont, bien entendu, supposés réels.
Pour a = o, pu est infinie; pu commence donc par décroître et sa dérivée par être négative. Il faut donc, de l'équation (55), conclure
pu décroîtra tant que la dérivée ne s'annulera pas, c'est-à-dire jusqu'à d première racine de Z. Nous savons que u prendra alors pour valeur une des demi-périodes (56) et ce sera évidemment la plus petite demi-période réelle tOi; e^ = p^i)^ est un minimum. Ce minimum sera nécessairement positif, si les racines sont réelles, à cause de la relation ^i H-^aH- ^s = o; il pourra être négatif si le discriminant A est négatif. Le facteur y/p^^ — d n'ayant, d'après
FONCTIONS puj snii, cnu, dnii, 69
la formule (58), que des racines simples, change de signe en s'annulant et il faut écrire maintenant
I-a fonction pu recommence à croître et devient infinie pour M =: 2a)| ; d^ailleurs on a, puisque 20), est une période,
p(MH-(Oi) = p(M--(Oi-4-2a)i) = p(M — Wi),
et il suffisait de faire varier u de zéro à a)| pour en déduire immédiatement la variation de pa entre co^ et 2a)|. La fonction pu repassera ensuite par les mêmes valeurs.
Nous représenterons cette variation par une courbe; les droites w = o, u = tùi, u=:2i3)ty u = 3u),, . . . seront des axes de symétrie ( /î^. i).
Fig. I.
Corollaire. — Il résulte de la discussion précédente que l'on a, cOi étant une demi-période réelle,
Formule d'homogénéité. — Posons, dans la formule (o),
d'où résultera
(0 ^j=K*/ri» /ra=K'^i»
6o CHAPITRE IV.
en posant
Ig% = —7(^1 <?t -^ «î «i -*- «i «'1 )»
\ Téquation (8) pourra s'écrîre
et il suffira d'appeler v la quantité wy/ûi pour voir que
Cette dernière équation peut s'écrire, en tenant compte de la définition de V et des égalités (e) et (IJ),
(^»7) p(«; ^2, gz) = KP ('^Z?; g> g)-
Cette très importante formule est connue sous le nom àe formule d^ homogénéité de pu.
Deuxième période. — En particulier, soit pris |x égal à moins un; la formule (67) devient
dans cette formule, i désigne, comme de coutume, le symbole imaginaire y/— i ; on a de plus
c'i= — e,, «; — — «„ c'3 = — e„ ^i = ^t, ^i= — ^J» et
L^équation (0) devient
dy
La quantité
r dy
FONCTIONS J>Uy Snu^ CïiUy àliU. 6l
sera de nouveau une intégrale définie réelle, et si Ton pose
la quantité cog sera purement imaginaire. De plus, 2(^2 est une période de la fonction j^, c'est-à-dire qu'on a
ou, en se reportant à la formule (Ç),
p(Mt— 2(i)jt; ^,, — ^3)=p(at; ^„ —^3)
ou enfin à cause de la formule d'homogénéité,
P(m — 2(0,; gt, gi) = p(ii; gty gl)-
Donc la quantité purement imaginaire 20)2 sera une période de noire première fonction pu : elle est définie par l'équation
dy avec
Corollaire, — Si l'on pose j^ = — 5 et si l'on fait rentrer i sous le radical, on pourra aussi écrire
Autres valeurs réelles de pw. — Nous venons de voir qu'aux valeurs réelles de u ne correspondent que des valeurs réelles de pu toutes supérieures à la racine e^ (plus grande racine si le discriminant est positif, seule racine réelle dans le cas contraire). Il est intéressant de montrer que pu pourra atteindre toutes les valeurs réelles; les valeurs correspondantes de u que nous allons rencontrer seront naturellement imaginaires. Nous avons cru pouvoir représenter les résultats par des courbes; parallèlement aux abscisses sont portées des quantités imaginaires, mais les variabld8 ç^ et ^ sont réelles. Les ordonnées restent réelles et représentent les valeurs de pu.
Pour avoir la première de ces courbes, nous nous sommes appujé sur ce que, d'après la formule d'homogénéité (67'), aux valeurs purement imaginaires de u correspondaient des valeurs réelles de u>J — i et de p{u\ g^^ — g^)\ ces valeurs de iP("j5'2> — gz) sont supérieures à la plus grande racine — e^ correspondante et, par suite, p{u] g^^ g^) est inférieure à 62»
La seconde courbe a été construite en utilisant la formule (5g) dans laquelle nous avons fait a == 2,
On voit ainsi que, v variant de zéro à co, ou i^ de coj à to, + 0)2 = — (Os, pu = p(v -{- (1)2) varie de 62 à e^.
La troisième courbe exige l'application successive des deux remarques précédentes; en premier lieu, la formule d'homogénéité permettra d'obtenir des valeurs réelles de p(a; g2, — g^) correspondant aux valeurs purement imaginaires de p{u; g2^ gz)- Ensuite la formule (Sg) permettra de rattacher les valeurs comprises entre Ci et e^ aux valeurs inférieures à €2-
Ces deux courbes n'existent pas dans le cas du discriminant
Fig.
ptL
Oi,
négatif; dans ce dernier cas, le maximum des valeurs atteintes pour u imaginaire coïncide avec le minimum des valeurs qui cor-
FONCTIONS pw, snw, CDM, dnw. 63
respondent à u réel : c'est ce que rappellera une dernière courbe. Les fig. fi el Z ont été construites en supposant e^ négatif. On
Fig. 3.
Fig. 4.
Cj <"
O (U,*U, 'jii*J'»», U = W, + »'
verrait aisément ce qu'on doit faire dans les hypothèses inverses.
Fig. 5.
pu
Discriminant néqâbf
Remarque. — Les figures précédentes montrent clairement dans tous les cas les deux zéros de pa (aux périodes près).
En résumé, dans le cas du discriminant positif, pu prend des valeurs réelles pour toutes les valeurs réelles de m, pour toutes les valeurs purement imaginaires, enfin pour les valeurs complexes de la forme W2 + ^ ou de la forme toi + zV (p étant réelle). Dans le cas du discriminant négatif, pu est réel pour toutes les valeurs réelles ou purement imaginaires de w.
A utre remarque. — Si A est positif, il résulte de la formule ( Sg)
que p{u-h<i>a) est réel avec w; mais a = 3 ne donnera pas de nouvelles valeurs, puisque toutes les valeurs réelles ont été atteintes précédemment.
Retour à la fonction ^u: sa, variation. — Supposons d'abord le discriminant positif : pu est alors toujours positive et Ç'm toujours négative. On a alors une courbe telle que celle de la fig. 6 ;
Fig.
•Ka),
6(jii,
LU
chaque branche se déduit facilement de la précédente par la relation
Les points d'inflexion correspondent aux valeurs a=ci)|, /f = 3(0|, a=5(i)|, ... qui annulent J^"w = — p'e^; la figure a
DIscrlmlnaDt po»iUf; e,>(h
Fig. 7.
été faite en supposant vii positif, et les valeurs de Çtt aux points d'inflexion sont 71 1, 3 7)1, 5 7)1, ....
FONCTIONS pu, snuy CHU, dnu. 65
Si le discriminant est négatif, mais si e^ est positive, la discussion ne diffère pas sensiblement de la précédente. Si ei est négative, pu et X^u s'annulent deux fois en changeant de signes*, X^u présentera un maximum et un minimum dans chaque intervalle égala 2(0, {fig. 7).
Variation de sne/. — La variation de %tiu résulte immédiatement de sa définition et de la variation de pa : on peut aussi se rappeler les formules (64) et (65). On voit ainsi que u variant de o à K, -p: varie de o à (0| et snw croît deo à H-i ; puis, à cause de l'équation (65), la dérivée change de signe, comme cnz^, et snw décroît de 4-1 à o, valeur atteinte lorsque tt = 2Kou — : = 2ti),.
L'équation (49) nous montre que snw change alors de signe et repasse par les mêmes valeurs, au signe près : l'aspect de la courbe {fiS' ^) ^^^ sensiblement celui d'une sinusoïde.
Fig. 8.
Tout cela suppose, ainsi que le corollaire suivant, k'^ réel et inférieur à un ou encore e,, e.j, ^3 réelles.
Corollaire L — L'équation (64) pourrait s'écrire, par imitation de ce qui a été fait pour pw,
ou, en posant
/snri * asna —
or = sna,
X = (i — ar«)(i — A-»a:î),
Legendre pose ^ = sinf et appelle intégrale elliptique de première espèce l'intégrale précédente qu'il désigne par la notation F(/r, çp) ou F(y) ; on a donc
Il résulte de la discussion précédente que u atteint la valeur K en même temps que x la valeur un) donc
Corollaire II. — Nous avons démontré, page 6i, la formule (66')
Si l'on considère la fonction sni u qui correspond aux racines
e\ = — «1,^2 = — «2» ^% = — ^3î le multiplicateur correspondant
sera
X' = e\ — e\ = ^1 — Cj = X,
et le carré du module
g» — g 'i £izi?».
e', — e\ Cl — et
C'est donc la quantité désignée déjà (62) par la notation k''\ sUi u sera donc la fonction sn(w, A''). Le quart de sa période réelle sera, d'après (68),
dx
et si l'on remarque que la fonction sn(^, A/) et la fonction p{u] e\^ e\^, e,), pages 5o et 55, sont reliées l'une à l'autre comme sn(a, A-) et p{u\e\^e^^ es), on voit immédiatement, en se rappelant la première des égalités (48') ou (48), que
^ I r^ dx ^
mais, d'autre part, la seconde égalité (48') nous donne
\ei — et
FONCTIONS pw, Snw, CIÏUj diiw. 67
Il en résulte, comme 0)2= v'af, que
et les périodes purement imaginaires de pt^ ou de sn u se trouvent exprimées comme les périodes réelles, au facteur i près, par des intégrales définies entièrement réelles.
Exercices sur le Chapitre IV.
