De la formule (53) déduire la relation

p'oioL = 2( ep — Ca) (^Y — ^a) (a, ?, Y = i , a, 3 ; a ?^ ? ?^ y).

4. Exprimer Tinvariant g^ et le discriminant A = 'lyffl — gl en fonction des périodes.

iC)

Ot(o)Oi(o)OJ(o)

5. Trouver Téquation différentielle à laquelle satisfait cnu. Réponse: cn'a = — snifdni^.

6. Trouver Féquation différentielle à laquelle satisfait dna. Réponse : an' u = — k^snucnu.

7. Des formules (65), combinées avec les conditions initiales données dans la remarque subséquente, déduire les équations (53) et Téquation (64).

8. Déduire de la formule (5y) les formules d'addition des fonctions de

Jacobi

isnucnv ânv -^ STïv cnuâiïu sn(w-^p)= ,-r — , , I — A:*sn*Msn*i; , . cnttcni^ — sni/ sncdnadnv

I' en (u -h t^) = j-r— r , 1 — A'^sn^asn'i' , , ^ dnadni^ — X:' snwsni^ en wcnv> dn(a-t-i^) = 7-7 — r , — - • I — A^sn^Msn't^

On peut encore opérer directement, de la manière suivante : Dans Téquation (8), à trois termes, posons

Wî,

Wl,

elle devient

— 0(Oi'e(M-H p -t- wi)9(a -+-a)i)6(p-+- wj)

-h Ô((i)i — u>j)e(w4- p -t-tui-H (o,)OwOp

-h 6a)j6(M-f- p-ha>j)0(u-hwi)6(p-h(i)i) = o ou

— Oi o Oi ( w -h p) 6i M 01 p

— 03o03(wH-p)0 uQ V

-r- 0,0 Oj( M -I- p) Oi a 01 P = o,

ou, en divisant par — ^— ^ n / . ---» et remplaçant u par — ^,

FONCTIONS pu, snu, cïïu, dïïu, 6g

.par-L,

(A) cn(a H- f) -H sna snpdn(a -H p) — cnuciif^ = o.

De même, la substitution, faite dans Téquation (8),

a = h (Ot ,

b = — hw,,

C = — ^ H- co„

rf=?l=^

conduira à l'équation

(B) dnudnpdn(u H- {^) — A:*cnMcnp cn(M-i- p) = i — A:*.

Les équations (A) et (B) font connaître cn(w ■+- v) et dn(M ■+- v) par des formules qu'on ramène immédiatement à la forme voulue, à Taide des relations (53).

Enfin la substitution

îî^

,tt-^ P

Wl

, p — U COj Wi

fournira Téquation

snu cn(w -+- p) -h snp dn(M 4- p) — cnudnpsn(u + p) = o, qui, combinée avec les résultats précédents,. fera connaître sn(u + p).