CHAPITRE II. — DES SÉRIES

l'indice zéro indiquant l'abseace d'indice. Démontrer les formules

Sr,(p + T) = A&,(p)

Er,((. + -:) = A2f,(0

' a ^l' + ^W tB &,(«>)

2r.(f+^)= Ba,(i.)

&,(».+ 2)= BS,(,.)

&'(o) = ira,(o)S,(o)2r,(o),

2r(o) 3|(o) &|^ ^Uii) &'(o) 2r,(o)'^&,(o) "^&,{oj'

la notation &(2f | 21) indique que 2t joue, vis-à-vis de cette fonction, le rôle de t dans les ^ ordinaires.

28 FONCTIONS tftf, 3'aW, Çw.

FONCTIONS o-w, r^u, H^u [FORMULES (20) A (40)].

Définitions; premières propriétés, zéros. — Les fonctions et 8|, que nous avons étudiées dans le Chapitre II, sont éminemment propres aux applications : lorsque u et (0| sont réelles, elles admettent, les deux premières la période 4^i» '^s deux autres la période 2<0|. Elles se comportent donc, à certains égards, comme des fonctions trigonométriques. Il est cependant commode, dans d'autres cas, d'avoir des fonctions qui, tout en conservant les principales propriétés des fonctions 0, contiennent les deux périodes d'une manière symétrique. Quoique la fonction ^u (prononcez : sigma ii) soit des quatre fonctions, qui vont être définies, la plus usitée, et, en réalité, celle dont nous ferons presque exclusivement usage, la symétrie des notations est telle que nous définirons d'un coup quatre des fonctions imaginées par Weierstrass. Nous poserons, A et Ba étant quatre constantes, ainsi que a,

( s'a =Ae''"*ea, "^^ \ Cï'aW=Bae««'OaM (a = 1,2, 3) (»),

d'où il résulte immédiatement que les. zéros des nouvelles fonctions sont les mêmes que ceux des 8 correspondants, et que la

( ') Le lien des fonctions r^ avec les fonctions 6^ est beaucoup trop intime pour ne pas définir ici ces fonctions: mais nous en ferons un usage bien moindre que la fonction fondamentale ru.

FONCTIONS o'w, a'fl^^/, Cm. 29

parité est aussi la même

Zéros de 3* M 2/ni(0i • -+-2mjtoj

<^iu (2mi-t-i)a)i -i-2mjWt

/ Zéros (•20) I

j » <fiU 2/niCUi -H(2m|-M)(Uj

l » <^su (2/711-1- i)a)|-i-(2/n2-hi)wi

(^w est impaire, les autres fonctions sont impaires, c'est-à-dire que

Les constantes A et B^ sont déterminées par la condition que 3'a(o) = I et rf'(o) = I ; or

o"(o) = lim— =limAc«"'— =Ae'(o).

u—OU 11 = W

Donc

De même

''""ea(o)

Si, par une raison de symétrie que nous allons justifier bientôt,

1 écrit — ^ au lieu de a, 1 2a>i

tions (^ et (S'a deviennent

on écrit — ^ au lieu de a, les formules (a) qui définissent les fonc-

La constante vii est jusqu'ici arbitraire; on la détermine par la condition que la dérivée seconde du logarithme de du^ qui jouera le rôle principal dans les notations de Weierstrass adoptées par nous, n'ait pas de terme indépendant de u. Exprimons cette condition, et, pour cela, développons en série la fonction impaire Ca, évidemment holomorphe comme 9w :

c M = M 4- A3 w** -f- Ag w5 H- . . . .

30 CHAPITBE III.

On en tire

D logo'u :

a" w = I -h 3 A, w* + 5 Aj M* -h . . . , <f u ^ I -+- 3AjM*-i-. . .

cfu~ a -h As m' -H . . .

-: I (i-H3A3M»-f-...){i^-A,tt*-h...)-' = i (i-+-3A,w«-l-...)(i — Ajw»-!-...) = h ^Aja-h.. .,

D«loga'M = j H- 2 As ■

BM«-4-Ga*-

La condition à exprimer est donc A3= o. 11 suffit pour cela de développer en série les deux facteurs qui composent du

ew= ttÔ'(o)-+-^0'"(o)-4-...,

d'où

L2101 6 0(o)J et la condition cherchée est

Remarque. — 11 résulte des formules (22) et (28) que si W| et q sont réelles, <3'w est aussi réelle pour toutes les valeurs^ àe u.

Addition dos périodes : la constante •/i2- — Les formules maintenant se multiplient; mais, au fond, ce sont les formules relatives aux fonctions 8 ou même à ^{z) écrites avec les nouvelles notations. Ainsi, comme

les formules (i 5) deviennent

icr { a + 2 0)1 ) = — e2Yi,(«-t-w,) Q* a, ^i ( W -h 2 (Di ) = — C»TOi<"+W,) (j'j i/^

' (3'2(M-f-2a)i) == eïTQi^w+Wi^a'jM,

PONCTIONS rfl/, tfaW, Çw. 3l

De même l'addition de la seconde période 2 «2 donnera de nouvelles formules; occupons-nous seulement de (iu; la substilu^lion de {/+2 0)a à u dans la formule (22) donnera, en tenant compte de (16), ^

Le coefficient de u-\- 0)2 dans la seconde exponentielle sera * ; nous rappellerons 2 7|2, d'où la formule très importante

(25) ïîfW,— 7),U), = — .

L'équation (6) s'écrit alors

CCa 4- 2a)î) = — e^V^+Wi^orw, et le groupe des formules (16) se transforme dans le suivant

0* (a-hao),) =— e«TQ3(»+Wi>3'w,

' (3',(mH- 2Ci),)=— e*TQ.<«+«û.^3',a, a'a(M -+- 20),)= e»^«ta+w,)3'ji^.

La constante tOo' — Nous avons déjà laissé pressentir (p. 17), l'utilité d'introduire une constante 0)3 telle que

(c) a)i4- Wj-h 0)3 = o.

Par analogie, on introduit une constante 7J3 telle que

En multipliant la formule (c) par yja, la formule {d) par — W2 et ajoutant, il vient

WlT)j— 7)1 tu, -4- a>8T)j — a),7)j = o,

ou, en tenant compte de (aS),

(27) WjTj,— WjT), = Y*

On a de même

Wl^S— '03 7)1= ~

Les formules (a5), (27), (28) se déduisent de Tune d'elles par permutation circulaire des indices.

Addition de la troisième période. — La fonction à dévelop> per est<3'(M 4- 2(03) = (3'(a — 20)| — 2W31). Nous procéderons en deux étapes : dans la première formule (24) remplaçons u par u — 2(0, et tirons d{u — aw, ),

d'où, en écrivant maintenant u — 20)2 au lieu de £/,

. ^(W — 2(1)2— 2t0i) = 3'(W -H aOij) = — e-*T'li'«*-iW,-W,)g'(M — 2Ci)j ).

La première formule (26) donnera

tf ( M — 2 (Oj ) = — e-îiQ,(w-to>,) <3' u,

d'où

( e ) a'( u -h 2 toj ) = e-«^.î»-*««>«-<«>t^-*na(« -<*>>) a' u .

L'exposant de e s'écrit

2M(— 7)1 — 7),) -4- 2T^l Wj — 27)i(— U), — (Oj) -f- 27)jtOi = 2Wr,3— aa)j7)3— 27)it03.

Le dernier terme peut être remplacé, à cause de (28), par Tzi — 2Ci)|ir)3 : l'exposant est donc

et la formule (e) devient

o'( M 4-20)3) = — eïTai(«+w,) 3* j^ ,

On opérerait de même pour Taddilion de la troisième période à S'a w; nous pouvons donc écrire le Tableau suivant qui renferme

PONCTIONS (iUf <^g^Uf ^U. 33

les nouvelles formules réunies aux formules (24) et (26)

( tf (m -h 20)/) = — CÏ^.t'^+Wi) (^ U (t = I, 2, 3),

(29) \ ^«(M-l-awa) = — c»V«+«,)3'qjM (a = 1,2, 3),

I (3'a(tt + 2ai^)= e«V*+<»>?'a'aa (a, p = i, 2, 3, a J P).

Addition des demi-périodes. — La première formule (17). traduite dans les nouvelles notations, s'écrit

(/) e'(o)c »^' a'(a-4-u),) = ei(o)e *"» o*,»,

et cette même formule (17) donne

e,(o)=ea),; de la première équation (22) on tire

L'égalité (/) peut donc s'écrire

-~-(" + Wi)" -^ («»+«?)

e **^» a'(w-4-Wi) = s'Oie '"« Ciw,

ou, en simplifiant,

La même méthode s'appliquera évidemment à l'addition des deux autres demi-périodes et nous pouvons écrire la formule qui en comprend trois

(30) CCa-hWa) = «^«"tftOaO'oiM (a = 1,2, 3).

On obtiendrait des formules analogues relatives à l'addition des demi-périodes aux fonctions (^a^'

Théorème. — La fonction da vérifie la même équation à trois termes que la fonction ^u.

Soit 'f (w) une fonction quelconque vérifiant l'équation (7); la fonction e*"*'^^cp(w) = tj;(2/) vérifiera la même équation. En effet

i|/(6 — c) = exifr-^)' cY (p(6 — c), L. L. 3

34 CHÀPITBB III.

le premier terme de Féquation à trois termes est donc

gvy eia(«'^-fr"-M»-4-rf«) (p(6 — c) <p(6 -H c) 9(a — rf) ç(o -4- d).

Les trois termes étant multipliés par le même facteur, le théorème est démontré et Ton a

Icrè — c) a'(6 -u c) 3'(a — rf) crr a -4- ûf) -4- CCc — a) o-^c -t- a ) o'(6 — û?) a*! 6 -- <i) — o'ca — 6)(3'(a-i-6)(3'(c — d)^(c -f-rf) =0.

Remarque. — Toute fonction qui vérifie Véquation à trois termes est nécessairement impaire, si elle s'annule en même temps que la variable.

Faisons, en effet, dans Féquation (7),

elle devient

ç(c — a)ç(c-t-a)<p{c — ^)ç(c-hrf)

-hcp(a — c)çp(a-^c)©(c — d)ff(c -r- d) = o,

ou

ç(c — c?)cp(c-4-^)cp(c-t-a)[ç(c~a)-i-'f(a — c)] = o,

ou

^(c — a)-Ho(a — c) = o,

ou, si l'on pose a — c:==i u^

cp(— m) = — ç(m).

Formule d'addition de la fonction ^u. — Cette formule se déduit de Féquation à trois termes; elle conviendra à toule fonction, s*il en existe d'autres, vérifiant celte équation et telle que sa dérivée prenne la valeur 1, lorsque la variable s'annule.

Égalons b — c à un infiniment petit s : l'équation (3i) devient, en remarquant que rfe =-= s d' {o) -- e,

e ^(20 -h ê) (3'(rt — rf) o'f' a -h <i) -^ <i(c — a)a'(c-ha)a'(c — d-^z)^( c -^^ d->r-t) -i-a'(a — c — e) (^ia-^ c -\-t)^{c — d)<:f(c-\- d) =iO,

En développant suivant la formule de Tajlor et conservant seulement les termes infiniment petits du premier ordre, nous avons

PONCTIONS (3'lf, d^Uf (tt. 35

régalité

■+- <3'(c — a) a'(c -¥- a) [<^{c-\- d) <f'(c — rf) -+- d(c — d) a"(c -f- d)] -hCCc — rf)a'(c-i-rf)[3'(a— c)3"(«-H c) — a'(a-4-c)(3^(a— c)] = o.

Cette équation peut s'écrire

tffg — cQtf (fl-Hrf)

I r <f'(C'-d) q^'(c-f-rf) tf'(a-t-g) tf^(a — c) 1

Si Ton fait tendre c vers zéro, le second membre est indéterminé; mais, en appliquant la règle de L'Hôpital, on a immédiatement

,. (fid-hc) ^(d — c) ^ a^û?

lim -^--^-J^ -y---' =^^ = D.logo'rf,

le signe D2 indiquant une dérivée seconde. De même

lim ^ = D, logo'a.

Donc enfin

^^^^f^f(5^ = D.log^«-D,log*rf=A-D,

en désignant par X la fonction D2 \og(ix. Changeons de notations nous écrirons

C'est cette formule qu'on appelle formule d'addition de la fonction du. En réalité, elle ne remplit pas absolument le rôle d'une formule d'addition, puisqu'elle ne permet pas de calculer d{u 4- p), connaissant du et dv.

Remarque. — En remplaçant u successivement par a, 6, c et V par rf, on pourra déduire de l'équation (Sa) l'équation à trois

termes sî l'on s'appuie sur ridcnlilé évidente

DE LA FONCTION Ça.

La nouvelle fonction, proposée également par Weierstrass, est déGnie par l'égalité

(33) ;«= ^ = Dlogo'a.

On prononce dzêla ii.

Il en résulte, à cause de (2'^),

Addition des périodes. — La définition (33) nous donne immédiatement

et par suite, en^ appliquant la première équation (29), (35) Ç(a-f-2W/) = Çw-h2Tr)/ (t=i,!i, 3).

Remarque. — On pourrait, par un procédé analogue, des fonctions d^u déduire des fonctions Ca^/; mais ces fonctions sont peu usitées.

Autres propriétés de ^u. — <^u est impaire, d^u est paire, donc ^u est une fonction impaire :

Nous avons vu (p. 3o), que

Çw = Dlogof'w = — h 2A3W -H Ba'-h.. ., et nous avons annulé A3 ; donc (38) îa= i -4-Ba»-i-Ga* -h.,..

FONCTIONS O*!/, ^a", î«- 37

L'origine est un pôle simple de Cm. D'ailleurs, les pôles de ^u sont les zéros de (S'm; ils sont donnés par la formule

u = a/nib>i + 2/711 Cl),.

Formule d'addition de Çw. — L'équation (32) peut s'écrire

(fia— ç)(^(u-{' v) „, ^,

Prenons les dérivées logarithmiques des deux membres, nous obtenons

(39) ç(a p)-^ç(^ + p)-2Çw = ^^.

Échangeons les lettres u et v^ l'équation précédente devient

d'où, par addition avec (Sg),

(40) ;(a -t- t^) = Ça H- Çc -4- - ^7 ^•

C'est la formule d'addition des fonctions Çw.

Remarque importante. — Pour montrer l'avantage des nouvelles fonctions, nous signalerons, sans la démontrer, la proposition suivante : Si l'on remplace (o, et coj par deux nouvelles périodes co et co' telles que

(I) = aïOi -+- 6a)j, u)'= c 0)1-4- c?a)i,

avec

«û? — bc = ±i,

la fonction du et la fonction Çe^ ne sont pas modiGées. Il en sera de même de la fonction pu que nous définirons au Chapitre suivant.

Les fonctions df^u s'échangent les unes dans les autres; il en résulte que les fonctions s'échangent avec multiplication par des exponentielles.

38 CHAPITRE III. — PONCTIONS d U^ ^«1^, ^U.

Exercices sur le Chapitre III.