Démontrer les formules

sn (a7H- K) = -7 — >

, „. Xr'snar

cn(a7-hK)= j -,

^ dna?

sn (x ■+- ÎK') = 1 »

cn(a:-+- iK') =— ,

^ ' ksnx

an(x-{-iK)= ;

^ snx

/ tr «T/fx dna?

sn(a?-t-K-H tK') = -; ,

^ ^ kcnx

ik'

cn(a:-HK-+-tK') = — 7 >

^ '^ Xrcna:

dn(. + K^.-K')= ^.

On appliquera, soit exclusivement les défînitions, soit les formules d'addition combinées avec les définitions dans les cas particuliers où la variable est une demi-période.

10. Si, dans la formule (69), on fait m= —^ on obtient p — ; d'où Ton déduit facilement p'— ^; pour cela, il est commode de poser

ep — tf|. = a«, ey — Coi=6*, tfgi — ep = c*, a' -h 6* -4- c* = o.

Écrire ces formules en appelant e^ la racine qui correspond à cua» et fixer, en particulier, les signes pour a = i ou a = 2 (Halphen, /onc/ions elliptiques, t. I, p. 5?.).

Réponse, — Si A est > o, on trouve

p'— =--2(e, — e3)v/ei — <?, -2(ci— e,)/e7^^tf^, p -J = 6, — v^ea— et /ei — ej ,

P'~ = — 2t(ci — tft) v/^s— ei — 2«(«3 — ex) v/e, — es .

Si A < o, soit Cl réelle,

e,= m-4-/ii (n>o); en posant

y/ei—e^ z=p^qi {p>Oy q> o), .

PONCTIONS puy sni/y cnu, dnu.

on trouve