Démontrer que

INTÉGRATION PAB LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 78

INTÉGRATION PAR LES FONCTIOxNS ELLIPTIQUES. - INTÉGRALES COMPLÈTES DE LEGENDRE. - USAGE DES TABLES DE FONCTIONS ELLIPTIQUES [FORMULES (70) A (73)].

Dans ce Chapilre, je vais d^abord montrer comment s'intègrent les expressions qui renferment d'une manière rationnelle des fonctions elliptiques; nous verrons ensuite comment s'introduisent ces fonctions elliptiques.

Intégration des expressions rationnelles par rapport aux fonctions elliptiques* — J'envisagerai, en premier lieu, les expressions qui ne renferment que pu el ses dérivées.

Toutes les dérivées de pu, sauf la première, s'exprimant en fonction linéaire de pu et p'u^ une expression rationnelle en pu et p'u sera toujours de la forme

^L"^^P!f* (M-4-Np^M)(P — Qp'ii)

P + Qp'a ~ Pî-Qîp'tu -A-t-Bpa,

M, N, P, Q étant des polynômes en p a et A, B des fractions rationnelles en pu. Toute intégrale elliptique se ramène donc à la forme

1 (\ -hBp'u)du^ I Adu-h I Bp'udu.

Si, dans la seconde de ces intégrales, on pose

pUz=Z,

d'où

p'udu = dz^

74 CHAPIT1IB y.

elle est immédiatement ramenée à la forme

dans laquelle f{z) est une fraction rationnelle; on sait donc l'intégrer. Le résultat est une fonction rationnelle de z^ ou de j>a, c'est-à-dire une fonction elliptique.

Restent les intégrales du type

Kdu^

qui peuvent, par des opérations algébriques (décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples), se ramener aux deux types suivants :

/pf^udu et /

pvyn

Nous avons vu, pages 4^ et suivantes, qu'on pouvait toujours exprimer p^^u en fonction linéaire de pu et de ses dérivées. En intégrant^ on trouvera donc une fonction linéaire de X^Uj ainsi que de pe/ et de ses dérivées.

Il reste à intégrer les expressions de la forme

{pu — pp)"*

Deux cas sont à distinguer :

Premier cas : v est une demi-période. — Alors la formule (Sg) permet de remplacer la fraction par le polynôme

(«p — «aK<^Y — ^a)

et, par conséquent, l'intégration est ramenée à celle des polynômes en pu^ intégration qu'on sait effectuer.

Deuxième cas : v n'est pas une demi-période. — Supposons d'abord que m soit égal à l'unité; la formule (Sg bis) donne immédiatement la solution. Elle s'écrit, en mettant pu sm lieu

int£giiation par les fonctions elliptiques. 75

de — l^'w,

^ ' pu — pv pv / ^\ / -» J 7

d'où

J pu — pv p'v a'(a — V) pv

En difierentiant plusieurs fois par rapport à i^ la formule {a), on introduira les fractions

(pu — pv)* (pu — pv)* (pu — pv)"^

Réduction aux fonctions elliptiques ou inversion. — Nous venons de voir comment s'intégraient les intégrales portant sur des fonctions elliptiques; mais il faut encore savoir introduire ces fonctions elliptiques ou, comme l'on dit, effectuer l'mt^emo/i; sans entrer ici dans la discussion générale, j'indiquerai quelques cas généraux.

Le cas le plus simple est évidemment celui où Ton a à effectuer une quadrature telle que

le signe R désignant une fonction rationnelle et Z le polynôme 4-5' — g2Z — gz', il suffît alors de poser

z = pu; il en résulte

dz = p'uduj

et l'on est ramené au problème précédemment traité.

Cas particulier :

r dz

y se transforme en

d'où

^=^4-c, z=pa(y — c).

Cette dernière équation résout le problème.

Si Z' désigne un polynôme quelconque du troisième degré, a^z^-T- atZ^-^ ŒiZ-^a^^ on revient au cas précédent, en posant

ce qui fait disparaître le terme en z^ et donne à Ç' le coefficient 4-

Supposons maintenant qu'on rencontre une intégrale de la forme

yR(x,v/x)^=2/Q7x'^'

P, Q, R désignant toujours des fonctions rationnelles et X un polynôme du quatrième degré en x.

Cas particulier. — Supposons d'abord X bicarré,

X = ma?* -h nx*-hp;

on posera

iF« =

et l'on aura

IX dx

= rfr,

dx=