IJITÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Téquation précédente devient

rdu

d'où

et

X = sn a{y — c)

représente l'intégrale de Téquation donnée.

Voici maintenant des méthodes plus générales :

Premièhe méthode. — a. On connaît une racine a de X

X = (a? — a) (aoX^ -h aix* -h a^x -+- aj);

on pose

et

v/X = — v/ao(a^ H- 1)3 -h ai(a^ h- i)«^ -h «^(aj^ -h i)y*-h a^iajr -h i)3 ;

on est ramené au cas du troisième degré, déjà traité.

b. On connaît deux racines a et ^ de X; ou peut alors, soit opérer comme dans le cas précédent, soit poser

et si

X = (37 — a) (a? — p)(aa;'-H ô^x -h c),

on obtiendra encore sous le radical un polynôme du troisième degré. En effet, on aura

v/X = ---^ y/z[a(oL-^^z)^-^b{i-^z){oL-^'{^z)-hc(î'^z)*î

Deuxième méthode. — On se propose de ramener X à la forme bicarrée pour rentrer dans le premier cas traité. Pour cela, on décompose X en deux facteurs réels du second degré

X = (ax^ -Jn bx -^ c) ( a' x^ -h b' X -T c').

78 CBAPITR£ y.

Si

a'ar*-h b'x -4- c'= X (aa?*-î- bx -f- c" ),

la substitution

suffit pour obtenir la forme bicarrée.

Si Ton n'est pas dans ce cas particulier, on pose

a v-4-fl

et Ton détermine les constantes a et ^, de manière à annuler le coefficient de y dans chacun des trinômes. Le premier devient, après multiplication par (^y -1- i)*,

«(ar-^P)'-+-^(ar-»-P)(r-^0-+-c(^H-i)«,

et la condition qui le concerne s^écrit

aaap -i- 6(P H- a)-f- 2C = o.

Le second trinôme donne de même

2«'ap -t- ô'(P -H a) -4- ac'= o,

et ces deux équations détermineront les constantes de la substitution; a, p se présentent comme racines de l'équation du second

degré

(aè'— 6a')X«— 9.(ac'— caiyk h- 6c'— c6'= o.

On peut toujours s'arranger de manière que ces racines soient réelles; car le discriminant de cette équation, changé de signe,

{ac-^ ca'Y -{ab'— ba') {bc'— cb')

est le résultant des deux trinômes ax^ 4- bx -f- c, a'x^ H- b'x -|- c', et l'on sait qu'il est toujours positif à moins que les racines des deux trinômes ne soient réelles et enchevêtrées, ce qu'on pourra éviter en choisissant convenablement les racines du premier trinome. On sera donc ramené, par des substitutions réelles, à une expression sous le radical de la forme

c'est-à-dire à un poljnome bicarré.