INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Troisième méthode. — L'inconvénient des méthodes précédentes est de supposer effectuée la résolution de Téquation X = o. Bien que, la plupart du temps, cette circonstance se présente, il peut être utile d'indiquer une méthode qui n'exige pas la résolution de l'équation du quatrième degré.

Nous nous appuierons sur l'identité suivante, que nous nous bornerons à vérifier

La formule d'addition (5^) donne

U p^-pJ - 3pP = p(«4-p;^pa-2pi^

= P(m-hp) — pp -npa — pi'.

D'autre part, en remplaçant successivement ijfv par xij^'^v — g^ et p'* par 4 p' — g^lP^ gzA^ second terme de l'identité (6) peut s'écrire

— p'»w -4- 7p'w ji'v — p'*t? — p'*r/ — r»''p , I2p'p-f-^i

^P'" — P'<0* . Mv^ti — V^v^ — g'i{pn'-y^v^

pu — pif pu — pv ^

= — 4(P" — pv)[p(u-\-v)-hpu-\-pv]-^i(p*u-hpupv-^p*v) — i^p*v

= — 4(pM— pt»)p(M-f- i^) —^pv(pU — pv)y

=- — iipu^pt>)[p{u-^v)-pv].

L'identité à vérifier devient ainsi

[p{u-^v) — pv-h-pu — pi>Y'-i{pu--pv)[p(u-^ç) — pv] = [p{u-i-v) — puy,

et sous cette forme elle est évidente.

Cela posé, soit

/ V ' P'it^ — P'v

2 p M — pt»

8o CHAPITRE Y.

ridentité (b) peut s'écrire

en posant

Y =y^— 6y*pv h- iyp'v h- gp^v — ap'p.

On saura donc, par les égalités (c) et (rf), ramener aux fonctions elliptiques toute intégrale de la forme

fR{y,^Y)dy.

Considérons maintenant l'intégrale

où Z est un polynôme du quatrième degré. C'est un problème élémentaire que de poser z == ay + p et de déterminer a et P, de manière que le nouveau poljnome en y ait pour premier coefficient Tunité et soir privé de second terme. Supposons donc fait ce calcul et l'intégrale sous la forme

jB(y,^Y)dy

avec

Tout le problème revient à identifier ce poljnome avec le précédent polynôme Y, et la réussite ne fera pas de doute lorsque l'on réfléchira que nous aurons trois équations d'identification et trois inconnues, savoir g2i gs^ qwi déterminent la fonction pa, et l'argument particulier ç'. Voici Je calcul :

a,= — pp,

a^^p'vj

«* = -i- 9P*v — 2p''ç — — 3p*v -+- gf.

On en déduit immédiatement

INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 8l

et en portant jx' et j>V dans Téquation

aï = — 4«î -t- («*-i- 3aî )a,— ^,,

La fonction pu étant ainsi construite, Targument v sera donné par l'égalité

et l'équation, concordant avec la précédente,

(h) p'v = ai

servira à fixer le signe de (^.

Remarque. — Toutes les intégrales que nous venons de rencontrer sont celles qu'on appelle elliptiques, c'est-à-dire qu'elles ne portent que sur des quantités rationnelles et sur des radicaux où sont enfermés des polynômes du troisième ou du quatrième degré. On voit que les intégrales elliptiques s'intègrent toujours par les fonctions elliptiques. D'autres problèmes se ramènent aux mêmes fonctions; sans entrer dans le détail, je me bornerai à énoncer ce théorème :

On peut exprimer par les Jonctions elliptiques toute intégrale de la forme 1 é{.{u^ ç)duj êi{u, v) étant une fonction

rationnelle en u et en v, lorsque v est reliée à u par une relation de genre un, c^est^à-dire lorsque la courbe f{u, ç) = o a son maximum de points doubles sauf un.

(') Les valeurs trouvées pour g^ et g^ sont, à ua facteur près, les invariants du polynôme du quatrième degré Y; si Ton appelle ces invariants S et T,

S =aoa4— 4a,a3+3a;,

les valeurs de gi et g^ en fonction des coefficients de Z seront

82 CHAPITRE y.

Application : nouvelle démonstration de la relation entre puetsnu. — Partons de Tintégrale

__ r' dx r' dx

qui définit la fonction x = snu, et appliquons les règles précédentes pour introduire la fonction pi^, c'est-à-dire pour remplacer le radical précédent par un radical du troisième degré. Pour cela, posons, X étant une constante positive, en même temps que la nouvelle variable f,

d'où

Posons alors

/kdi